Calcolo Esempi

$\ln ({(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2})$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

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Passaggio 1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Passaggio 1.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Passaggio 1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (2 \frac{x + 1}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Passaggio 3

$2$ e $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \frac{d}{d x} [\frac{x + 1}{2 x - 1}])$

Passaggio 4

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x + 1$ e $g (x) = 2 x - 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1] - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5

Differenzia.

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Passaggio 5.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1]) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) (1 + 0) - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{(2 x - 1) \cdot 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.4.2

Moltiplica $2 x - 1$ per $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \frac{d}{d x} [2 x - 1]}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.5

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.8

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + \frac{d}{d x} [- 1])}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.9

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) (2 + 0)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 5.10.1

Somma $2$ e $0$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - (x + 1) \cdot 2}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} (\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1} \cdot \frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}})$

Passaggio 5.10.3

Moltiplica $\frac{2 (x + 1)}{2 x - 1}$ per $\frac{2 x - 1 - 2 (x + 1)}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{(2 x - 1) {(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6

Moltiplica $2 x - 1$ per ${(2 x - 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 6.1

Moltiplica $2 x - 1$ per ${(2 x - 1)}^{2}$ .

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Passaggio 6.1.1

Eleva $2 x - 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1} {(2 x - 1)}^{2}}$

Passaggio 6.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 6.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{1}{{(\frac{x + 1}{2 x - 1})}^{2}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{x + 1}{2 x - 1}$ .

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{2 (x + 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 (x + 1))}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{1}{\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4

Raccogli i termini.

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Passaggio 7.4.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{{(x + 1)}^{2}}{{(2 x - 1)}^{2}}$ .

$1 \frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.2

Moltiplica $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2 \cdot 1) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2 \cdot 1)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.4

Moltiplica $- 2$ per $1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (2 x - 1 - 2 x - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.5

Sottrai $2 x$ da $2 x$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (0 - 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.6

Sottrai $1$ da $0$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) (- 1 - 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.7

Sottrai $2$ da $- 1$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{(2 x + 2) \cdot - 3}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.8

Sposta $- 3$ alla sinistra di $2 x + 2$ .

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{- 3 \cdot (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}} (- \frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}})$

Passaggio 7.4.10

Moltiplica $\frac{{(2 x - 1)}^{2}}{{(x + 1)}^{2}}$ per $\frac{3 (2 x + 2)}{{(2 x - 1)}^{3}}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.11

Sposta $3$ alla sinistra di ${(2 x - 1)}^{2}$ .

$- \frac{3 \cdot {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.12

Elimina il fattore comune di ${(2 x - 1)}^{2}$ e ${(2 x - 1)}^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.12.1

Scomponi ${(2 x - 1)}^{2}$ da $3 {(2 x - 1)}^{2} (2 x + 2)$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}}$

Passaggio 7.4.12.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.4.12.2.1

Scomponi ${(2 x - 1)}^{2}$ da ${(x + 1)}^{2} {(2 x - 1)}^{3}$ .

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

Passaggio 7.4.12.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{{(2 x - 1)}^{2} (3 (2 x + 2))}{{(2 x - 1)}^{2} ({(x + 1)}^{2} (2 x - 1))}$

Passaggio 7.4.12.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{3 (2 x + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1

Scomponi $2$ da $2 x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.5.1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.5.1.2

Scomponi $2$ da $2$ .

$- \frac{3 (2 (x) + 2 (1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.5.1.3

Scomponi $2$ da $2 (x) + 2 (1)$ .

$- \frac{3 (2 (x + 1))}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

$- \frac{3 \cdot 2 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.5.2

Moltiplica $3$ per $2$ .

$- \frac{6 (x + 1)}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.6

Elimina il fattore comune di $x + 1$ e ${(x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Scomponi $x + 1$ da $6 (x + 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{{(x + 1)}^{2} (2 x - 1)}$

Passaggio 7.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.2.1

Scomponi $x + 1$ da ${(x + 1)}^{2} (2 x - 1)$ .

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

Passaggio 7.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{(x + 1) \cdot 6}{(x + 1) ((x + 1) (2 x - 1))}$

Passaggio 7.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{6}{(x + 1) (2 x - 1)}$