Calcolo Esempi

$lim_{x \to \infty} {(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$

Passaggio 1

Usa la proprietà dei logaritmi per semplificare il limite.

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Passaggio 1.1

Riscrivi ${(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x}$ come $e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$ .

$lim_{x \to \infty} e^{\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})}$

Passaggio 1.2

Espandi $\ln ({(\frac{3 x}{3 x + 1})}^{x})$ spostando $x$ fuori dal logaritmo.

$lim_{x \to \infty} e^{x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Passaggio 2

Sposta il limite nell'esponente.

$e^{lim_{x \to \infty} x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}$

Passaggio 3

Riscrivi $x \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})$ come $\frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}}}$

Passaggio 4

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 4.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

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Passaggio 4.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$e^{\frac{lim_{x \to \infty} \ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2

Calcola il limite del numeratore.

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Passaggio 4.1.2.1

Calcola il limite.

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Passaggio 4.1.2.1.1

Sposta il limite all'interno del logaritmo.

$e^{\frac{\ln (lim_{x \to \infty} \frac{3 x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Sposta il termine $3$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.2

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.3.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.2.2

Dividi $3$ per $1$ .

$e^{\frac{\ln (3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.3.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.4

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 \frac{1}{3 + 0})}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 4.1.2.5.1

Somma $3$ e $0$ .

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.1.2.5.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{\frac{\ln (3 (\frac{1}{3}))}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{\frac{\ln (1)}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.2.5.3

Il logaritmo naturale di $1$ è $0$ .

$e^{\frac{0}{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 4.1.3

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$e^{\frac{0}{0}}$

Passaggio 4.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to \infty} \frac{\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})}{\frac{1}{x}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}$

Passaggio 4.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 4.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [\ln (\frac{3 x}{3 x + 1})]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \frac{3 x}{3 x + 1}$ .

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Passaggio 4.3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{\frac{3 x}{3 x + 1}} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.3

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3 x}{3 x + 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1 \frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.4

Moltiplica $\frac{3 x + 1}{3 x}$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{3 x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.5

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{3 x + 1}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{3 x} \cdot 3 \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.6

$3$ e $\frac{3 x + 1}{3 x}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.7

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 4.3.7.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 (3 x + 1)}{3 x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.7.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \frac{d}{d x} [\frac{x}{3 x + 1}]}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.8

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = 3 x + 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{(3 x + 1) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.10

Moltiplica $3 x + 1$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \frac{d}{d x} [3 x + 1]}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.11

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x + 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.12

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.13

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.14

Moltiplica $3$ per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + \frac{d}{d x} [1])}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.15

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x (3 + 0)}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.16

Somma $3$ e $0$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - x \cdot 3}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.17

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{3 x + 1 - 3 x}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.18

Sottrai $3 x$ da $3 x$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{0 + 1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.19

Somma $0$ e $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.20

Moltiplica $\frac{3 x + 1}{x}$ per $\frac{1}{{(3 x + 1)}^{2}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3 x + 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.21

Elimina il fattore comune di $3 x + 1$ e ${(3 x + 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.21.1

Moltiplica per $1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{x {(3 x + 1)}^{2}}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.21.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 4.3.21.2.1

Scomponi $3 x + 1$ da $x {(3 x + 1)}^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.21.2.2

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{(3 x + 1) \cdot 1}{(3 x + 1) x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.21.2.3

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]}}$

Passaggio 4.3.22

Riscrivi $\frac{1}{x}$ come $x^{- 1}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{\frac{d}{d x} [x^{- 1}]}}$

Passaggio 4.3.23

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- x^{- 2}}}$

Passaggio 4.3.24

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{1}{x (3 x + 1)}}{- \frac{1}{x^{2}}}}$

Passaggio 4.4

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$e^{lim_{x \to \infty} \frac{1}{x (3 x + 1)} \cdot - 1 x^{2}}$

Passaggio 4.5

$\frac{1}{x (3 x + 1)}$ e $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x^{2}}{x (3 x + 1)}}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $x^{2}$ e $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Scomponi $x$ da $x^{2}$ .

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Passaggio 4.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x \cdot x}{x (3 x + 1)}}$

Passaggio 4.6.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{lim_{x \to \infty} - \frac{x}{3 x + 1}}$

Passaggio 5

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{x}{3 x + 1}}$

Passaggio 6

Dividi il numeratore e il denominatore per la massima potenza di $x$ nel denominatore, che è $x$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.1.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{3 x}{x} + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.2.2

Dividi $3$ per $1$ .

$e^{- lim_{x \to \infty} \frac{1}{3 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.3

Dividi il limite usando la regola del quoziente dei limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.4

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.5

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{lim_{x \to \infty} 3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 7.6

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $\infty$ .

$e^{- \frac{1}{3 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}}$

Passaggio 8

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{x}$ tende a $0$ .

$e^{- \frac{1}{3 + 0}}$

Passaggio 9

Somma $3$ e $0$ .

$e^{- \frac{1}{3}}$

Passaggio 10

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{e^{\frac{1}{3}}}$