Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} 5^{\frac{3 x}{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = \frac{3 x}{2}$ . Allora $d u = \frac{3}{2} d x$ , quindi $\frac{2}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = \frac{3 x}{2}$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $\frac{3 x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{3 x}{2}]$

Passaggio 1.1.2

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3 x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{3}{2} \cdot 1$

Passaggio 1.1.4

Moltiplica $\frac{3}{2}$ per $1$ .

$\frac{3}{2}$

Passaggio 1.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{2}$

Passaggio 1.3

Semplifica.

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Passaggio 1.3.1

Elimina il fattore comune di $0$ e $2$ .

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Passaggio 1.3.1.1

Scomponi $2$ da $3 \cdot 0$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2}$

Passaggio 1.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.3.1.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 (1)}$

Passaggio 1.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$u_{lower} = \frac{2 (3 \cdot 0)}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$u_{lower} = \frac{3 \cdot 0}{1}$

Passaggio 1.3.1.2.4

Dividi $3 \cdot 0$ per $1$ .

$u_{lower} = 3 \cdot 0$

Passaggio 1.3.2

Moltiplica $3$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 1.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = \frac{3 x}{2}$ .

$u_{upper} = \frac{3 \cdot 1}{2}$

Passaggio 1.5

Moltiplica $3$ per $1$ .

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = \frac{3}{2}$

Passaggio 1.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{1}{\frac{3}{2}} d u$

Passaggio 2

Semplifica.

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Passaggio 2.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{3}{2}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot (1 (\frac{2}{3})) d u$

Passaggio 2.2

Moltiplica $\frac{2}{3}$ per $1$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} \cdot \frac{2}{3} d u$

Passaggio 2.3

$5^{u}$ e $\frac{2}{3}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{5^{u} \cdot 2}{3} d u$

Passaggio 2.4

Sposta $2$ alla sinistra di $5^{u}$ .

$\int_{0}^{\frac{3}{2}} \frac{2 \cdot 5^{u}}{3} d u$

Passaggio 3

Poiché $\frac{2}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{2}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{2}{3} \int_{0}^{\frac{3}{2}} 5^{u} d u$

Passaggio 4

L'integrale di $5^{u}$ rispetto a $u$ è $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ .

$\frac{2}{3} \frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$

Passaggio 5

$\frac{2}{3}$ e $\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2 (\frac{5^{u}}{\ln (5)}]_{0}^{\frac{3}{2}})}{3}$

Passaggio 6

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 6.1

Calcola $\frac{5^{u}}{\ln (5)}$ per $\frac{3}{2}$ e per $0$ .

$\frac{2 ((\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)}) - \frac{5^{0}}{\ln (5)})}{3}$

Passaggio 6.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\frac{2 (\frac{5^{\frac{3}{2}}}{\ln (5)} - \frac{1}{\ln (5)})}{3}$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{2 \frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}}{3}$

Passaggio 7.2

$2$ e $\frac{5^{\frac{3}{2}} - 1}{\ln (5)}$ .

$\frac{\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)}}{3}$

Passaggio 7.3

Moltiplica il numeratore per il reciproco del denominatore.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5)} \cdot \frac{1}{3}$

Passaggio 7.4

Combina.

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1) \cdot 1}{\ln (5) \cdot 3}$

Passaggio 7.5

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{\ln (5) \cdot 3}$

Passaggio 7.6

Sposta $3$ alla sinistra di $\ln (5)$ .

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{2 (5^{\frac{3}{2}} - 1)}{3 \ln (5)}$

Forma decimale:

$4.21693387 \dots$

Passaggio 9