Calcolo Esempi

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{6 x}$

Passaggio 1

Sposta il termine $\frac{1}{6}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x}$

Passaggio 2

Applica la regola di de l'Hôpital

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Passaggio 2.1

Calcola il limite del numeratore e il limite del denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Trova il limite del numeratore e il limite del denominatore.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2

Calcola il limite del numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1.1

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.2

Sposta l'esponente $4$ da ${(3 + x)}^{4}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - lim_{x \to 0} 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.1.5

Calcola il limite di $81$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + lim_{x \to 0} x)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.2

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{{(3 + 0)}^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3

Semplifica la risposta.

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Passaggio 2.1.2.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.3.1.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{3^{4} - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.2

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 1 \cdot 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.1.3

Moltiplica $- 1$ per $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{81 - 81}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.2.3.2

Sottrai $81$ da $81$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{lim_{x \to 0} x}$

Passaggio 2.1.3

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.1.4

L'espressione contiene una divisione per $0$ . L'espressione è indefinita.

Indefinito

$\frac{1}{6} \cdot \frac{0}{0}$

Passaggio 2.2

Poiché $\frac{0}{0}$ si trova in forma indeterminata, applica la regola di de l'Hôpital. La regola di de l'Hôpital afferma che il limite di un quoziente di funzioni è uguale al limite del quoziente delle loro derivate.

$lim_{x \to 0} \frac{{(3 + x)}^{4} - 81}{x} = lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3

Trova la derivata del numeratore e del denominatore.

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Passaggio 2.3.1

Differenzia numeratore e denominatore.

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4} - 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di ${(3 + x)}^{4} - 81$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3

Calcola $\frac{d}{d x} [{(3 + x)}^{4}]$ .

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Passaggio 2.3.3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 + x$ .

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Passaggio 2.3.3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + x$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + x] + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} (0 + 1) + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.3.6

Moltiplica $4$ per $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + \frac{d}{d x} [- 81]}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 81$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 81$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3} + 0}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.5

Somma $4 {(3 + x)}^{3}$ e $0$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{\frac{d}{d x} [x]}$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} \frac{4 {(3 + x)}^{3}}{1}$

Passaggio 2.4

Dividi $4 {(3 + x)}^{3}$ per $1$ .

$\frac{1}{6} lim_{x \to 0} 4 {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta il termine $4$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 lim_{x \to 0} {(3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.2

Sposta l'esponente $3$ da ${(3 + x)}^{3}$ fuori dal limite usando la regola della potenza dei limiti.

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + x)}^{3}$

Passaggio 3.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(lim_{x \to 0} 3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Passaggio 3.4

Calcola il limite di $3$ che è costante, mentre $x$ tende a $0$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + lim_{x \to 0} x)}^{3}$

Passaggio 4

Calcola il limite di $x$ inserendo $0$ per $x$ .

$\frac{1}{6} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

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Passaggio 5.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{1}{2 (3)} \cdot 4 {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5.1.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 2) {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5.1.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} \cdot 2 {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{2}{3} {(3 + 0)}^{3}$

Passaggio 5.3

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $3$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $3$ da $3^{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 3^{2})$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$2 \cdot 3^{2}$

Passaggio 5.5

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$2 \cdot 9$

Passaggio 5.6

Moltiplica $2$ per $9$ .

$18$