Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{6} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{6}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{6} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{6} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{6} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{6}) x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{6}$ .

$\frac{- 4}{6} x^{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{- 4}{6}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $6$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{6} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (3)} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 x^{3}}{3} + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f' (x) = - \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{2 x^{3}}{3} + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{2 x^{3}}{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- \frac{2}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{2 x^{3}}{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{2}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{2}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{2}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.4

$- 3$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{- 3 \cdot 2}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.5

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$\frac{- 6}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.6

$\frac{- 6}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 6 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.1

Scomponi $3$ da $- 6 x^{2}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.7.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 2 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.2.7.2.4

Dividi $- 2 x^{2}$ per $1$ .

$- 2 x^{2} + \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x^{2} + 2 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x^{2} + 2 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 x^{2} + 2$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{2} + 2$ .

$- 2 x^{2} + 2$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{2} + 2 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 x^{2} + 2 = 0$

Passaggio 2.2

Sottrai $2$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x^{2} = - 2$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x^{2} = - 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 2}{- 2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $- 2$ per $- 2$ .

$x^{2} = 1$

Passaggio 2.4

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{1}$

Passaggio 2.5

Qualsiasi radice di $1$ è $1$ .

$x = \pm 1$

Passaggio 2.6

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.6.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = 1$

Passaggio 2.6.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - 1$

Passaggio 2.6.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = 1, - 1$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot {(1)}^{4} + {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - \frac{1}{6} \cdot 1 + {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = - \frac{1}{6} + {(1)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = - \frac{1}{6} + 1$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Passaggio 3.1.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Passaggio 3.1.2.2.3

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (1) = \frac{5}{6}$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ è $(1, \frac{5}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(1, \frac{5}{6})$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} \cdot {(- 1)}^{4} + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{4}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.1

Sposta ${(- 1)}^{4}$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot (- 1 (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2

Moltiplica ${(- 1)}^{4}$ per $- 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{4} \cdot ((- 1) (\frac{1}{6})) + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = {(- 1)}^{4 + 1} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.1.3

Somma $4$ e $1$ .

$f (- 1) = {(- 1)}^{5} (\frac{1}{6}) + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $5$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + {(- 1)}^{2}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + 1$

Passaggio 3.3.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scrivi $1$ come una frazione con un comune denominatore.

$f (- 1) = - \frac{1}{6} + \frac{6}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 1) = \frac{- 1 + 6}{6}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Somma $- 1$ e $6$ .

$f (- 1) = \frac{5}{6}$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $\frac{5}{6}$ .

$\frac{5}{6}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 1$ in $f (x) = - \frac{1}{6} x^{4} + x^{2}$ è $(- 1, \frac{5}{6})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 1, \frac{5}{6})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(1, \frac{5}{6}), (- 1, \frac{5}{6})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 1) \cup (1, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1.1$ nell'espressione.

$f'' (- 1.1) = - 2 {(- 1.1)}^{2} + 2$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1.21$ .

$f'' (- 1.1) = - 2.42 + 2$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (- 1.1) = - 0.42$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.42$ .

$- 0.42$

Passaggio 5.3

Per $- 1.1$ , la derivata seconda è $- 0.42$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 1)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 1)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 1, 1)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f'' (0) = - 2 {(0)}^{2} + 2$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f'' (0) = - 2 \cdot 0 + 2$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f'' (0) = 0 + 2$

Passaggio 6.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$f'' (0) = 2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $2$ .

$2$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $0$ , la derivata seconda è $2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 1, 1)$ .

Crescente su $(- 1, 1)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(1, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1.1$ nell'espressione.

$f'' (1.1) = - 2 {(1.1)}^{2} + 2$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $1.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (1.1) = - 2 \cdot 1.21 + 2$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $1.21$ .

$f'' (1.1) = - 2.42 + 2$

Passaggio 7.2.2

Somma $- 2.42$ e $2$ .

$f'' (1.1) = - 0.42$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.42$ .

$- 0.42$

Passaggio 7.3

Per $1.1$ , la derivata seconda è $- 0.42$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(1, \infty)$ .

Decrescente su $(1, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso i punti di flesso sono $(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$ .

$(- 1, \frac{5}{6}), (1, \frac{5}{6})$

Passaggio 9