Calcolo Esempi

$f (x) = e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Passaggio 1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Passaggio 1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Passaggio 1.3.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{x^{2} - 1}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{x^{2} - 1}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x e^{x^{2} - 1})$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x \frac{d}{d x} (e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x^{2} - 1)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} (- 1))) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.4.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$f'' (x) = 2 (x (e^{x^{2} - 1} (2 x)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.5

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.6

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = 2 (x \cdot x (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.7

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = 2 (x^{1 + 1} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.8.1

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (e^{x^{2} - 1} \cdot (2)) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.8.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 \cdot e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.9

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1} \cdot 1)$

Passaggio 2.10

Moltiplica $e^{x^{2} - 1}$ per $1$ .

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1}) + e^{x^{2} - 1})$

Passaggio 2.11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.11.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = 2 (x^{2} (2 e^{x^{2} - 1})) + 2 e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 2.11.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 2.11.3

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 2.11.4

Riordina i fattori in $4 e^{x^{2} - 1} x^{2} + 2 e^{x^{2} - 1}$ .

$f'' (x) = 4 x^{2} e^{x^{2} - 1} + 2 e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = x^{2} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 4.1.1.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 4.1.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{2} - 1$ .

$e^{x^{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$e^{x^{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1])$

Passaggio 4.1.2.3

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x + 0)$

Passaggio 4.1.2.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$e^{x^{2} - 1} (2 x)$

Passaggio 4.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Riordina i fattori di $e^{x^{2} - 1} (2 x)$ .

$2 e^{x^{2} - 1} x$

Passaggio 4.1.3.2

Riordina i fattori in $2 e^{x^{2} - 1} x$ .

$f' (x) = 2 x e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $2 x e^{x^{2} - 1}$ .

$2 x e^{x^{2} - 1}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$2 x e^{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 5.2

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 5.3

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $e^{x^{2} - 1}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.1

Imposta $e^{x^{2} - 1}$ uguale a $0$ .

$e^{x^{2} - 1} = 0$

Passaggio 5.4.2

Risolvi $e^{x^{2} - 1} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.4.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{x^{2} - 1}) = \ln (0)$

Passaggio 5.4.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.4.2.3

Non c'è soluzione per $e^{x^{2} - 1} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.5

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x e^{x^{2} - 1} = 0$ vera.

$x = 0$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(0)}^{2} e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 e^{{(0)}^{2} - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{0 - 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.4

Sottrai $1$ da $0$ .

$0 e^{- 1} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 \frac{1}{e} + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{e}$ .

$0 + 2 e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 9.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 2 e^{0 - 1}$

Passaggio 9.1.8

Sottrai $1$ da $0$ .

$0 + 2 e^{- 1}$

Passaggio 9.1.9

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$0 + 2 \frac{1}{e}$

Passaggio 9.1.10

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$0 + \frac{2}{e}$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $\frac{2}{e}$ .

$\frac{2}{e}$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = e^{{(0)}^{2} - 1}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = e^{0 - 1}$

Passaggio 11.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$f (0) = e^{- 1}$

Passaggio 11.2.3

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (0) = \frac{1}{e}$

Passaggio 11.2.4

La risposta finale è $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = e^{x^{2} - 1}$ .

$(0, \frac{1}{e})$ è un minimo locale

Passaggio 13