Calcolo Esempi

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 x)}^{2}}} d x$

Passaggio 1

Semplifica.

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Passaggio 1.1

Scomponi $2$ da $2 x$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - {(2 (x))}^{2}}} d x$

Passaggio 1.2

Applica la regola del prodotto a $2 (x)$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (2^{2} x^{2})}} d x$

Passaggio 1.3

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - (4 x^{2})}} d x$

Passaggio 1.4

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$\int \frac{- 1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 1.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int - \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 2

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{1}{4 x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{4} \int \frac{1}{x \sqrt{4 - 4 x^{2}}} d x)$

Passaggio 4

Sia $x = \sin (t)$ , dove $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Allora $d x = \cos (t) d t$ . Si noti che, poiché $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ è positivo.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 5

Semplifica i termini.

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Passaggio 5.1

Semplifica $\sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}$ .

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Passaggio 5.1.1

Scomponi $4$ da $4$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.2

Scomponi $4$ da $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.3

Scomponi $4$ da $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.4

Applica l'identità pitagorica.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.5

Riscrivi $4 \cos^{2} (t)$ come ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} \cos (t) d t$

Passaggio 5.1.6

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) (2 \cos (t))} \cos (t) d t$

Passaggio 5.2

Riduci l'espressione eliminando i fattori comuni.

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Passaggio 5.2.1

Elimina il fattore comune di $\cos (t)$ .

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Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $\cos (t)$ da $\sin (t) (2 \cos (t))$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Passaggio 5.2.1.2

Elimina il fattore comune.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\cos (t) (\sin (t) \cdot (2))} \cos (t) d t$

Passaggio 5.2.1.3

Riscrivi l'espressione.

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin (t) \cdot (2)} d t$

Passaggio 5.2.2

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin (t)$ .

$- \frac{1}{4} \int \frac{1}{2 \sin (t)} d t$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $t$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \frac{1}{\sin (t)} d t)$

Passaggio 7

Semplifica.

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Passaggio 7.1

Converti da $\frac{1}{\sin (t)}$ a $\csc (t)$ .

$- \frac{1}{4} (\frac{1}{2} \int \csc (t) d t)$

Passaggio 7.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{1}{2 \cdot 4} \int \csc (t) d t$

Passaggio 7.3

Moltiplica $2$ per $4$ .

$- \frac{1}{8} \int \csc (t) d t$

Passaggio 8

L'integrale di $\csc (t)$ rispetto a $t$ è $\ln (| \csc (t) - \cot (t) |)$ .

$- \frac{1}{8} (\ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (t) - \cot (t) |) + C$

Passaggio 10

Sostituisci tutte le occorrenze di $t$ con $\arcsin (x)$ .

$- \frac{1}{8} \ln (| \csc (\arcsin (x)) - \cot (\arcsin (x)) |) + C$