Calcolo Esempi

$y + x^{3} y - 5 x = 0$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y + x^{3} y - 5 x) = \frac{d}{d x} (0)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

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Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $y + x^{3} y - 5 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [x^{3} y] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$y' + x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$y' + x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$y' + x^{3} y' + y (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.3.4

Sposta $3$ alla sinistra di $y$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} + \frac{d}{d x} [- 5 x]$

Passaggio 2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

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Passaggio 2.4.1

Poiché $- 5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 5 x$ rispetto a $x$ è $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5 \cdot 1$

Passaggio 2.4.3

Moltiplica $- 5$ per $1$ .

$y' + x^{3} y' + 3 y x^{2} - 5$

Passaggio 2.5

Riordina i termini.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5$

Passaggio 3

Poiché $0$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $0$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$x^{3} y' + 3 x^{2} y + y' - 5 = 0$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.1.1

Sottrai $3 x^{2} y$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} y' + y' - 5 = - 3 x^{2} y$

Passaggio 5.1.2

Somma $5$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x^{3} y' + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $x^{3} y' + y'$ .

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Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $x^{3} y'$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.2.2

Eleva $y'$ alla potenza di $1$ .

$y' x^{3} + y' = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da ${y'}^{1}$ .

$y' x^{3} + y' \cdot 1 = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.2.4

Scomponi $y'$ da $y' x^{3} + y' \cdot 1$ .

$y' (x^{3} + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.3

Riscrivi $1$ come $1^{3}$ .

$y' (x^{3} + 1^{3}) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.4

Poiché entrambi i termini sono dei cubi perfetti, fattorizza usando la formula della somma di cubi, $a^{3} + b^{3} = (a + b) (a^{2} - a b + b^{2})$ dove $a = x$ e $b = 1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x \cdot 1 + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.5

Scomponi.

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Passaggio 5.5.1

Semplifica.

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Passaggio 5.5.1.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1^{2})) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.5.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$y' ((x + 1) (x^{2} - x + 1)) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$

Passaggio 5.6

Dividi per $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ciascun termine in $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ e semplifica.

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Passaggio 5.6.1

Dividi per $(x + 1) (x^{2} - x + 1)$ ciascun termine in $y' (x + 1) (x^{2} - x + 1) = - 3 x^{2} y + 5$ .

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.6.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.6.2.1

Elimina il fattore comune di $x + 1$ .

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Passaggio 5.6.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x + 1) (x^{2} - x + 1)}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.6.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.6.2.2

Elimina il fattore comune di $x^{2} - x + 1$ .

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Passaggio 5.6.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x^{2} - x + 1)}{x^{2} - x + 1} = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.6.2.2.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 5.6.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.6.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)} + \frac{5}{(x + 1) (x^{2} - x + 1)}$