Calcolo Esempi

$\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ come funzione.

$f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Passaggio 4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{x + 3}} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x + 3$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 5.1

Sia $u = x + 3$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 3$ .

$\frac{d}{d x} [x + 3]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [3]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$3 \int \frac{1}{\sqrt[3]{u}} d u$

Passaggio 6

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{u}$ come $u^{\frac{1}{3}}$ .

$3 \int \frac{1}{u^{\frac{1}{3}}} d u$

Passaggio 6.2

Sposta $u^{\frac{1}{3}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 \int {(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1} d u$

Passaggio 6.3

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{\frac{1}{3}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 6.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int u^{\frac{1}{3} \cdot - 1} d u$

Passaggio 6.3.2

$\frac{1}{3}$ e $- 1$ .

$3 \int u^{\frac{- 1}{3}} d u$

Passaggio 6.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$3 \int u^{- \frac{1}{3}} d u$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- \frac{1}{3}}$ rispetto a $u$ è $\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}}$ .

$3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $3 (\frac{3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C)$ come $3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$ .

$3 (\frac{3}{2}) u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

$3$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3 \cdot 3}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{9}{2} u^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x + 3$ .

$\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{3}{\sqrt[3]{x + 3}}$ .

$F (x) =$ $\frac{9}{2} {(x + 3)}^{\frac{2}{3}} + C$