Calcolo Esempi

$y = \frac{1}{\sqrt[3]{x - 1}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{x - 1}$ come ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d y} (y) = \frac{d}{d y} (\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}})$

Passaggio 3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d y} [\frac{f (y)}{g (y)}]$ è $\frac{g (y) \frac{d}{d y} [f (y)] - f (y) \frac{d}{d y} [g (y)]}{{g (y)}^{2}}$ dove $f (y) = 1$ e $g (y) = {(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - 1 \cdot 1 \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.2

Differenzia usando la regola della costante.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${({(x - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 2}}$

Passaggio 4.2.2.2

$\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \frac{d}{d y} [1] - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$\frac{{(x - 1)}^{\frac{1}{3}} \cdot 0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2.4

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.4.1

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{1}{3}}$ per $0$ .

$\frac{0 - \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2.4.2

Sottrai $\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]$ da $0$ .

$\frac{- \frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.2.4.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{d}{d y} [{(x - 1)}^{\frac{1}{3}}]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = y^{\frac{1}{3}}$ e $g (y) = x - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $x - 1$ .

$- \frac{\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x - 1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.4

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.5

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.6

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.7

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.7.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.7.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.8

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.8.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{\frac{1}{3} {(x - 1)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.8.2

$\frac{1}{3}$ e ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{\frac{{(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.8.3

Sposta ${(x - 1)}^{- \frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d y} [x - 1]}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 1$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1]$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d y} [x] + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.10

Riscrivi $\frac{d}{d y} [x]$ come $x'$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + \frac{d}{d y} [- 1])}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.11

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $y$ è $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} (x' + 0)}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.12

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.12.1

Somma $x'$ e $0$ .

$- \frac{\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} x'}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.12.2

$\frac{1}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ e $x'$ .

$- \frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.13

Riscrivi $\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ come un prodotto.

$- (\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}} \cdot \frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}})$

Passaggio 4.14

Moltiplica $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ per $\frac{1}{{(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.15

Moltiplica ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ per ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.15.1

Sposta ${(x - 1)}^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{x'}{3 ({(x - 1)}^{\frac{2}{3}} {(x - 1)}^{\frac{2}{3}})}$

Passaggio 4.15.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.15.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{2 + 2}{3}}}$

Passaggio 4.15.4

Somma $2$ e $2$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$1 = - \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$

Passaggio 6

Risolvi per $x'$ .

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Passaggio 6.1

Riscrivi l'equazione come $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$

Passaggio 6.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ e semplifica.

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Passaggio 6.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = 1$ .

$\frac{- \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{- 1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}}{1} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.2.2

Dividi $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}}$ per $1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = \frac{1}{- 1}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.2.3.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} = - 1$

Passaggio 6.3

Moltiplica ogni lato per $3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

$\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}) = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4

Semplifica.

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Passaggio 6.4.1

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 6.4.1.1

Semplifica $\frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$ .

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Passaggio 6.4.1.1.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.1.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$3 \frac{x'}{3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.1.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.1.1.3

Elimina il fattore comune di ${(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.4.1.1.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x'}{{(x - 1)}^{\frac{4}{3}}} {(x - 1)}^{\frac{4}{3}} = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.1.1.3.2

Riscrivi l'espressione.

$x' = - (3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}})$

Passaggio 6.4.2

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 6.4.2.1

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$x' = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$

Passaggio 7

Sostituisci $x'$ con $\frac{d x}{d y}$ .

$\frac{d x}{d y} = - 3 {(x - 1)}^{\frac{4}{3}}$