Calcolo Esempi

$f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(2 - 3 x)}^{2} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 2 - 3 x$ . Allora $d u = - 3 d x$ , quindi $- \frac{1}{3} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 2 - 3 x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $2 - 3 x$ .

$\frac{d}{d x} [2 - 3 x]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia.

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Passaggio 3.1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 - 3 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 3.1.2.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- 3 x]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$0 - 3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 - 3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$0 - 3$

Passaggio 3.1.4

Sottrai $3$ da $0$ .

$- 3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} \frac{1}{- 3} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\int u^{2} (- \frac{1}{3}) d u$

Passaggio 4.2

$u^{2}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int - \frac{u^{2}}{3} d u$

Passaggio 5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$- \int \frac{u^{2}}{3} d u$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$- (\frac{1}{3} \int u^{2} d u)$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$

Passaggio 8

Semplifica.

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Passaggio 8.1

Riscrivi $- \frac{1}{3} (\frac{1}{3} u^{3} + C)$ come $- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$ .

$- \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 8.2

Semplifica.

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Passaggio 8.2.1

Moltiplica $\frac{1}{3}$ per $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{1}{3 \cdot 3} u^{3} + C$

Passaggio 8.2.2

Moltiplica $3$ per $3$ .

$- \frac{1}{9} u^{3} + C$

Passaggio 9

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 - 3 x$ .

$- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(2 - 3 x)}^{2}$ .

$F (x) =$ $- \frac{1}{9} {(2 - 3 x)}^{3} + C$