Calcolo Esempi

$- x y^{3} - x = 4 y^{3} + 4$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} - x) = \frac{d}{d x} (4 y^{3} + 4)$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x y^{3} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) - 1$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} - 1$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} - 1$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 y^{3} + 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{d}{d x} [4 y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 y^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [y^{3}] + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Passaggio 3.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$4 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$4 (3 y^{2} y') + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.2.4

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 y^{2} y' + \frac{d}{d x} [4]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.3.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$12 y^{2} y' + 0$

Passaggio 3.3.2

Somma $12 y^{2} y'$ e $0$ .

$12 y^{2} y'$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 = 12 y^{2} y'$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Sottrai $12 y^{2} y'$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = 0$

Passaggio 5.2

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

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Passaggio 5.2.1

Somma $y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} x y' - 1 - 12 y^{2} y' = y^{3}$

Passaggio 5.2.2

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Passaggio 5.3

Scomponi $3 y^{2} y'$ da $- 3 y^{2} x y' - 12 y^{2} y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.3.1

Scomponi $3 y^{2} y'$ da $- 3 y^{2} x y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) - 12 y^{2} y' = y^{3} + 1$

Passaggio 5.3.2

Scomponi $3 y^{2} y'$ da $- 12 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4 = y^{3} + 1$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $3 y^{2} y'$ da $3 y^{2} y' (- 1 x) + 3 y^{2} y' \cdot - 4$ .

$3 y^{2} y' (- 1 x - 4) = y^{3} + 1$

Passaggio 5.4

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$

Passaggio 5.5

Dividi per $3 y^{2} (- x - 4)$ ciascun termine in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ e semplifica.

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Passaggio 5.5.1

Dividi per $3 y^{2} (- x - 4)$ ciascun termine in $3 y^{2} y' (- x - 4) = y^{3} + 1$ .

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 y^{2} y' (- x - 4)}{3 y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2.2

Elimina il fattore comune di $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y^{2} y' (- x - 4)}{y^{2} (- x - 4)} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2.3

Elimina il fattore comune di $- x - 4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- x - 4)}{- x - 4} = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{y^{3}}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1

Elimina il fattore comune di $y^{3}$ e $y^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.3.1.1

Scomponi $y^{2}$ da $y^{3}$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{3 y^{2} (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.3.1.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 5.5.3.1.2.1

Scomponi $y^{2}$ da $3 y^{2} (- x - 4)$ .

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{y^{2} y}{y^{2} (3 (- x - 4))} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 5.5.3.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y}{3 (- x - 4)} + \frac{1}{3 y^{2} (- x - 4)}$