Calcolo Esempi

$- x y^{3} + 5 y = 3 - x^{3}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (- x y^{3} + 5 y) = \frac{d}{d x} (3 - x^{3})$

Passaggio 2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x y^{3} + 5 y$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [- x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x y^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x y^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x y^{3}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x y^{3}] + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y^{3}$ .

$- (x \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$- (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$- (x (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.4

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- (x (3 y^{2} y') + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.6

Sposta $3$ alla sinistra di $x$ .

$- (3 \cdot x y^{2} y' + y^{3} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $y^{3}$ per $1$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + \frac{d}{d x} [5 y]$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 y$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 \frac{d}{d x} [y]$

Passaggio 2.3.2

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$- (3 x y^{2} y' + y^{3}) + 5 y'$

Passaggio 2.4

Semplifica.

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Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$- (3 x y^{2} y') - y^{3} + 5 y'$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 x y^{2} y' - y^{3} + 5 y'$

Passaggio 2.4.3

Riordina i termini.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia.

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Passaggio 3.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 - x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [- x^{3}]$

Passaggio 3.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{3}]$ .

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Passaggio 3.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$0 - \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$0 - (3 x^{2})$

Passaggio 3.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$0 - 3 x^{2}$

Passaggio 3.3

Sottrai $3 x^{2}$ da $0$ .

$- 3 x^{2}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$- y^{3} - 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2}$

Passaggio 5

Risolvi per $y'$ .

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Passaggio 5.1

Somma $y^{3}$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 3 y^{2} x y' + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Passaggio 5.2

Scomponi $y'$ da $- 3 y^{2} x y' + 5 y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $y'$ da $- 3 y^{2} x y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + 5 y' = - 3 x^{2} + y^{3}$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $y'$ da $5 y'$ .

$y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5 = - 3 x^{2} + y^{3}$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $y'$ da $y' (- 3 y^{2} x) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$

Passaggio 5.3

Dividi per $- 3 y^{2} x + 5$ ciascun termine in $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ e semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Dividi per $- 3 y^{2} x + 5$ ciascun termine in $y' (- 3 y^{2} x + 5) = - 3 x^{2} + y^{3}$ .

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

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Passaggio 5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 3 y^{2} x + 5$ .

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Passaggio 5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (- 3 y^{2} x + 5)}{- 3 y^{2} x + 5} = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.2.1.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- 3 y^{2} x + 5} + \frac{y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3

Semplifica il lato destro.

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Passaggio 5.3.3.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3.2

Scomponi $- 1$ da $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + y^{3}}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3.3

Scomponi $- 1$ da $y^{3}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3.4

Scomponi $- 1$ da $- (3 x^{2}) - 1 (- y^{3})$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3.5

Riscrivi $- (3 x^{2} - y^{3})$ come $- 1 (3 x^{2} - y^{3})$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 3 y^{2} x + 5}$

Passaggio 5.3.3.6

Scomponi $- 1$ da $- 3 y^{2} x$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) + 5}$

Passaggio 5.3.3.7

Riscrivi $5$ come $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)}$

Passaggio 5.3.3.8

Scomponi $- 1$ da $- (3 y^{2} x) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- (3 y^{2} x - 5)}$

Passaggio 5.3.3.9

Riscrivi $- (3 y^{2} x - 5)$ come $- 1 (3 y^{2} x - 5)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Passaggio 5.3.3.10

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - y^{3})}{- 1 (3 y^{2} x - 5)}$

Passaggio 5.3.3.11

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3 x^{2} - y^{3}}{3 y^{2} x - 5}$