Calcolo Esempi

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2} - \frac{5}{4}$ e $g (x) = e^{x}$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ è $a^{x} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - \frac{5}{4}]$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} - \frac{5}{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}]$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{4}])$

Passaggio 3.3

Poiché $- \frac{5}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{5}{4}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x + 0)$

Passaggio 3.4

Somma $2 x$ e $0$ .

$(x^{2} - \frac{5}{4}) e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$x^{2} e^{x} - \frac{5}{4} e^{x} + e^{x} (2 x)$

Passaggio 4.2

Riordina i termini.

$e^{x} x^{2} - \frac{5}{4} e^{x} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.3

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1

$e^{x}$ e $\frac{5}{4}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{e^{x} \cdot 5}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.3.2

Sposta $5$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$e^{x} x^{2} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.4

Sottrai $\frac{5 e^{x}}{4}$ da $e^{x} x^{2}$ .

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Passaggio 4.4.1

Riordina $e^{x}$ e $x^{2}$ .

$x^{2} e^{x} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.4.2

Per scrivere $x^{2} e^{x}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$x^{2} e^{x} \cdot \frac{4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.4.3

$x^{2} e^{x}$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4}{4} - \frac{5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} e^{x} \cdot 4 - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Sposta $4$ alla sinistra di $x^{2} e^{x}$ .

$\frac{4 \cdot (x^{2} e^{x}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.5.2

Scomponi $e^{x}$ da $4 x^{2} e^{x} - 5 e^{x}$ .

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Passaggio 4.5.2.1

Scomponi $e^{x}$ da $4 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) - 5 e^{x}}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.5.2.2

Scomponi $e^{x}$ da $- 5 e^{x}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.5.2.3

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (4 x^{2}) + e^{x} \cdot - 5$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x$

Passaggio 4.6

Per scrivere $2 e^{x} x$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + 2 e^{x} x \cdot \frac{4}{4}$

Passaggio 4.7

$2 e^{x} x$ e $\frac{4}{4}$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5)}{4} + \frac{2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.8

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4}{4}$

Passaggio 4.9

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.1

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (4 x^{2} - 5) + 2 e^{x} x \cdot 4$ .

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Passaggio 4.9.1.1

Scomponi $e^{x}$ da $2 e^{x} x \cdot 4$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)}{4}$

Passaggio 4.9.1.2

Scomponi $e^{x}$ da $e^{x} (4 x^{2} - 5) + e^{x} (2 x \cdot 4)$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 2 x \cdot 4)}{4}$

Passaggio 4.9.2

Moltiplica $4$ per $2$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 5 + 8 x)}{4}$

Passaggio 4.9.3

Riordina i termini.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 x - 5)}{4}$

Passaggio 4.9.4

Scomponi mediante raccoglimento.

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Passaggio 4.9.4.1

Per un polinomio della forma $a x^{2} + b x + c$ , riscrivi il termine centrale come somma di due termini il cui prodotto è $a \cdot c = 4 \cdot - 5 = - 20$ e la cui somma è $b = 8$ .

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Passaggio 4.9.4.1.1

Scomponi $8$ da $8 x$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + 8 (x) - 5)}{4}$

Passaggio 4.9.4.1.2

Riscrivi $8$ come $- 2$ più $10$ .

$\frac{e^{x} (4 x^{2} + (- 2 + 10) x - 5)}{4}$

Passaggio 4.9.4.1.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{e^{x} (4 x^{2} - 2 x + 10 x - 5)}{4}$

Passaggio 4.9.4.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore da ciascun gruppo.

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Passaggio 4.9.4.2.1

Raggruppa i primi due termini e gli ultimi due termini.

$\frac{e^{x} ((4 x^{2} - 2 x) + 10 x - 5)}{4}$

Passaggio 4.9.4.2.2

Metti in evidenza il massimo comune divisore (M.C.D.) da ciascun gruppo.

$\frac{e^{x} (2 x (2 x - 1) + 5 (2 x - 1))}{4}$

Passaggio 4.9.4.3

Scomponi il polinomio mettendo in evidenza il massimo comune divisore, $2 x - 1$ .

$\frac{e^{x} ((2 x - 1) (2 x + 5))}{4}$

$\frac{e^{x} (2 x - 1) (2 x + 5)}{4}$