Calcolo Esempi

$- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Passaggio 1

Scrivi $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ come funzione.

$f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{10} x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{10}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{10} x^{5}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- \frac{1}{10} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- \frac{1}{10} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.3

Moltiplica $5$ per $- 1$ .

$- 5 (\frac{1}{10}) x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.4

$- 5$ e $\frac{1}{10}$ .

$\frac{- 5}{10} x^{4} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.5

$\frac{- 5}{10}$ e $x^{4}$ .

$\frac{- 5 x^{4}}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 5$ e $10$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.1

Scomponi $5$ da $- 5 x^{4}$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{10} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.2.6.2.1

Scomponi $5$ da $10$ .

$\frac{5 (- x^{4})}{5 (2)} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{5 (- x^{4})}{5 \cdot 2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.2.7

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{x^{4}}{2} + \frac{d}{d x} [- 2 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 2 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.3.3

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Passaggio 2.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1.4.1

Poiché $- 12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 12 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 2.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Passaggio 2.1.4.3

Moltiplica $3$ per $- 12$ .

$f' (x) = - \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$

Passaggio 2.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{x^{4}}{2} - 8 x^{3} - 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{x^{4}}{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Poiché $- \frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{x^{4}}{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- \frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- \frac{1}{2} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 4 (\frac{1}{2}) x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.4

$- 4$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{- 4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.5

$\frac{- 4}{2}$ e $x^{3}$ .

$\frac{- 4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6

Elimina il fattore comune di $- 4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.1

Scomponi $2$ da $- 4 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.6.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 (- 2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.2.6.2.4

Dividi $- 2 x^{3}$ per $1$ .

$- 2 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 8 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Poiché $- 8$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 8 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 2 x^{3} - 8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 2 x^{3} - 8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.3.3

Moltiplica $3$ per $- 8$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$

Passaggio 2.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.4.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 2.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 36 (2 x)$

Passaggio 2.2.4.3

Moltiplica $2$ per $- 36$ .

$f'' (x) = - 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Passaggio 2.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$

Passaggio 3

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Passaggio 3.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3} - 24 x^{2} - 72 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1.1

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x^{3}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 24 x^{2} - 72 x = 0$

Passaggio 3.2.1.2

Scomponi $- 2 x$ da $- 24 x^{2}$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 72 x = 0$

Passaggio 3.2.1.3

Scomponi $- 2 x$ da $- 72 x$ .

$- 2 x \cdot x^{2} - 2 x (12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Passaggio 3.2.1.4

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2}) - 2 x (12 x)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x \cdot 36 = 0$

Passaggio 3.2.1.5

Scomponi $- 2 x$ da $- 2 x (x^{2} + 12 x) - 2 x (36)$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 36) = 0$

Passaggio 3.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.2.1

Riscrivi $36$ come $6^{2}$ .

$- 2 x (x^{2} + 12 x + 6^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$12 x = 2 \cdot x \cdot 6$

Passaggio 3.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- 2 x (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 6 + 6^{2}) = 0$

Passaggio 3.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 6$ .

$- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 3.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

${(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 3.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 3.5

Imposta ${(x + 6)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Imposta ${(x + 6)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 6)}^{2} = 0$

Passaggio 3.5.2

Risolvi ${(x + 6)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.2.1

Poni $x + 6$ uguale a $0$ .

$x + 6 = 0$

Passaggio 3.5.2.2

Sottrai $6$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 6$

Passaggio 3.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 2 x {(x + 6)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 6$

Passaggio 4

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot {(0)}^{5} - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{10} \cdot 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{10} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{10}) - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{10}$ .

$f (0) = 0 - 2 {(0)}^{4} - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 2 \cdot 0 - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 2$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 {(0)}^{3}$

Passaggio 4.1.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - 12 \cdot 0$

Passaggio 4.1.2.1.6

Moltiplica $- 12$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 4.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 4.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 4.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 4.3

Sostituisci $- 6$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6$ nell'espressione.

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot {(- 6)}^{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.1

Eleva $- 6$ alla potenza di $5$ .

$f (- 6) = - \frac{1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{10}$ nel numeratore.

$f (- 6) = \frac{- 1}{10} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2.2

Scomponi $2$ da $10$ .

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 (5)} \cdot - 7776 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2.3

Scomponi $2$ da $- 7776$ .

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2.4

Elimina il fattore comune.

$f (- 6) = \frac{- 1}{2 \cdot 5} \cdot (2 \cdot - 3888) - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.2.5

Riscrivi l'espressione.

$f (- 6) = \frac{- 1}{5} \cdot - 3888 - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.3

$\frac{- 1}{5}$ e $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.4

Moltiplica $- 1$ per $- 3888$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 {(- 6)}^{4} - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.5

Eleva $- 6$ alla potenza di $4$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2 \cdot 1296 - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.6

Moltiplica $- 2$ per $1296$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 {(- 6)}^{3}$

Passaggio 4.3.2.1.7

Eleva $- 6$ alla potenza di $3$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 - 12 \cdot - 216$

Passaggio 4.3.2.1.8

Moltiplica $- 12$ per $- 216$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} - 2592 + 2592$

Passaggio 4.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.2.1

Scrivi $- 2592$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} + 2592$

Passaggio 4.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592}{1} \cdot \frac{5}{5} + 2592$

Passaggio 4.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + 2592$

Passaggio 4.3.2.2.4

Scrivi $2592$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1}$

Passaggio 4.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592}{1} \cdot \frac{5}{5}$

Passaggio 4.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{2592}{1}$ per $\frac{5}{5}$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5} + \frac{- 2592 \cdot 5}{5} + \frac{2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 6) = \frac{3888 - 2592 \cdot 5 + 2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.4.1

Moltiplica $- 2592$ per $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 2592 \cdot 5}{5}$

Passaggio 4.3.2.4.2

Moltiplica $2592$ per $5$ .

$f (- 6) = \frac{3888 - 12960 + 12960}{5}$

Passaggio 4.3.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.3.2.5.1

Sottrai $12960$ da $3888$ .

$f (- 6) = \frac{- 9072 + 12960}{5}$

Passaggio 4.3.2.5.2

Somma $- 9072$ e $12960$ .

$f (- 6) = \frac{3888}{5}$

Passaggio 4.3.2.6

La risposta finale è $\frac{3888}{5}$ .

$\frac{3888}{5}$

Passaggio 4.4

Il punto trovato sostituendo $- 6$ in $f (x) = - \frac{1}{10} x^{5} - 2 x^{4} - 12 x^{3}$ è $(- 6, \frac{3888}{5})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 6, \frac{3888}{5})$

Passaggio 4.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 6, \frac{3888}{5})$

Passaggio 5

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 6) \cup (- 6, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 6)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 6.1$ nell'espressione.

$f'' (- 6.1) = - 2 {(- 6.1)}^{3} - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 6.1) = - 2 \cdot - 226.981 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Passaggio 6.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 226.981$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 {(- 6.1)}^{2} - 72 \cdot - 6.1$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $- 6.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 24 \cdot 37.21 - 72 \cdot - 6.1$

Passaggio 6.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $37.21$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 - 72 \cdot - 6.1$

Passaggio 6.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $- 6.1$ .

$f'' (- 6.1) = 453.962 - 893.04 + 439.2$

Passaggio 6.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Sottrai $893.04$ da $453.962$ .

$f'' (- 6.1) = - 439.078 + 439.2$

Passaggio 6.2.2.2

Somma $- 439.078$ e $439.2$ .

$f'' (- 6.1) = 0.122$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $0.122$ .

$0.122$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- 6.1$ , la derivata seconda è $0.122$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 6)$ .

Crescente su $(- \infty, - 6)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 6, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f'' (- 3) = - 2 {(- 3)}^{3} - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3) = - 2 \cdot - 27 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $- 27$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 {(- 3)}^{2} - 72 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3) = 54 - 24 \cdot 9 - 72 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $9$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 - 72 \cdot - 3$

Passaggio 7.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $- 3$ .

$f'' (- 3) = 54 - 216 + 216$

Passaggio 7.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $216$ da $54$ .

$f'' (- 3) = - 162 + 216$

Passaggio 7.2.2.2

Somma $- 162$ e $216$ .

$f'' (- 3) = 54$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $54$ .

$54$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $- 3$ , la derivata seconda è $54$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 6, 0)$ .

Crescente su $(- 6, 0)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 8

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = - 2 {(0.1)}^{3} - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Passaggio 8.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = - 2 \cdot 0.001 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Passaggio 8.2.1.2

Moltiplica $- 2$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 {(0.1)}^{2} - 72 \cdot 0.1$

Passaggio 8.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 24 \cdot 0.01 - 72 \cdot 0.1$

Passaggio 8.2.1.4

Moltiplica $- 24$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 72 \cdot 0.1$

Passaggio 8.2.1.5

Moltiplica $- 72$ per $0.1$ .

$f'' (0.1) = - 0.002 - 0.24 - 7.2$

Passaggio 8.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.2.1

Sottrai $0.24$ da $- 0.002$ .

$f'' (0.1) = - 0.242 - 7.2$

Passaggio 8.2.2.2

Sottrai $7.2$ da $- 0.242$ .

$f'' (0.1) = - 7.442$

Passaggio 8.2.3

La risposta finale è $- 7.442$ .

$- 7.442$

Passaggio 8.3

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 7.442$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 9

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(0, 0)$ .

$(0, 0)$

Passaggio 10