Calcolo Esempi

$\int (e^{3 x} - 18 e^{- 4 x}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int e^{3 x} - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int e^{3 x} d x + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 3

Sia $u_{1} = 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 3.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 3.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 4

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$\int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int - 18 e^{- 4 x} d x$

Passaggio 7

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 18$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{- 4 x} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{2} = - 4 x$ . Allora $d u_{2} = - 4 d x$ , quindi $- \frac{1}{4} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

Sia $u_{2} = - 4 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1.1

Differenzia $- 4 x$ .

$\frac{d}{d x} [- 4 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4 x$ rispetto a $x$ è $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 4 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 4 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $- 4$ per $1$ .

$- 4$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} \frac{1}{- 4} d u_{2}$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int e^{u_{2}} (- \frac{1}{4}) d u_{2}$

Passaggio 9.2

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{4}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 \int - \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 10

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) - 18 (- \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2})$

Passaggio 11

Moltiplica $- 1$ per $- 18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 \int \frac{e^{u_{2}}}{4} d u_{2}$

Passaggio 12

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + 18 (\frac{1}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2})$

Passaggio 13

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

$\frac{1}{4}$ e $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{18}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.2

Elimina il fattore comune di $18$ e $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Scomponi $2$ da $18$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 (9)}{4} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.2.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.2.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{2 \cdot 9}{2 \cdot 2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 13.2.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 14

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$\frac{1}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{9}{2} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 15

Semplifica.

$\frac{1}{3} e^{u_{1}} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 16

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 16.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 16.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- 4 x$ .

$\frac{1}{3} e^{3 x} + \frac{9}{2} e^{- 4 x} + C$