Calcolo Esempi

$z = y {(3 + 2 x)}^{4}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (z) = \frac{d}{d x} (y {(3 + 2 x)}^{4})$

Passaggio 2

La derivata di $z$ rispetto a $x$ è $z'$ .

$z'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $y {(3 + 2 x)}^{4}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 + 2 x)}^{4}]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{4}$ e $g (x) = 3 + 2 x$ .

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Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 + 2 x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{4}] \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Passaggio 3.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$y (4 u^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 + 2 x$ .

$y (4 {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x])$

Passaggio 3.3

Differenzia.

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Passaggio 3.3.1

Sposta $4$ alla sinistra di $y$ .

$4 \cdot y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [3 + 2 x]$

Passaggio 3.3.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 + 2 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.3

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (0 + \frac{d}{d x} [2 x])$

Passaggio 3.3.4

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [2 x]$

Passaggio 3.3.5

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 y {(3 + 2 x)}^{3} (2 \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.3.6

Moltiplica $2$ per $4$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 3.3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3} \cdot 1$

Passaggio 3.3.8

Moltiplica $8$ per $1$ .

$8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$z' = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$

Passaggio 5

Sostituisci $z'$ con $\frac{d z}{d x}$ .

$\frac{d z}{d x} = 8 y {(3 + 2 x)}^{3}$