Calcolo Esempi

$f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$

Passaggio 1

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 2

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{5 x - 2} d x$

Passaggio 3

Sia $u = 5 x - 2$ . Allora $d u = 5 d x$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 3.1

Sia $u = 5 x - 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 3.1.1

Differenzia $5 x - 2$ .

$\frac{d}{d x} [5 x - 2]$

Passaggio 3.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x - 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

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Passaggio 3.1.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.3.3

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [- 2]$

Passaggio 3.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 3.1.4.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$5 + 0$

Passaggio 3.1.4.2

Somma $5$ e $0$ .

$5$

Passaggio 3.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5} d u$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{5}$ .

$\int \frac{1}{u \cdot 5} d u$

Passaggio 4.2

Sposta $5$ alla sinistra di $u$ .

$\int \frac{1}{5 u} d u$

Passaggio 5

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{5} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{5} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{1}{5} \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $5 x - 2$ .

$\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$

Passaggio 9

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{5 x - 2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{5} \ln (| 5 x - 2 |) + C$