Calcolo Esempi

$x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x arctanh (x) + \ln (\sqrt{1 - x^{2}})$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

$\frac{d}{d x} [x arctanh (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d x} [x arctanh (x)]$ .

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Passaggio 2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = arctanh (x)$ .

$x \frac{d}{d x} [arctanh (x)] + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.2

La derivata di $arctanh (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$x \frac{1}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.4

$x$ e $\frac{1}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.5

Moltiplica $arctanh (x)$ per $1$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + arctanh (x) + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.6

Per scrivere $arctanh (x)$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{1 - x^{2}}{1 - x^{2}}$ .

$\frac{x}{1 - x^{2}} + \frac{arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 2.7

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (\sqrt{1 - x^{2}})]$ .

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Passaggio 3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{1 - x^{2}}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d x} [\ln ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.2

La derivata di $\ln (u_{1})$ rispetto a $u_{1}$ è $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 1 - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 3.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ è $n {u_{2}}^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $1 - x^{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [1 - x^{2}])$

Passaggio 3.4

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 - x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Passaggio 3.5

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 + \frac{d}{d x} [- x^{2}]))$

Passaggio 3.6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - \frac{d}{d x} [x^{2}]))$

Passaggio 3.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.8

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.9

$- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.10

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.11

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.11.1

Moltiplica $- 1$ per $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.11.2

Sottrai $2$ da $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.12

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - (2 x)))$

Passaggio 3.13

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (0 - 2 x))$

Passaggio 3.14

Sottrai $2 x$ da $0$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} (- 2 x))$

Passaggio 3.15

$\frac{1}{2}$ e ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} (- 2 x))$

Passaggio 3.16

$- 2$ e $\frac{{(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} x)$

Passaggio 3.17

$\frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ e $x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 {(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} x}{2}$

Passaggio 3.18

Sposta ${(1 - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- 2 x}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.19

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.20

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 3.20.1

Scomponi $2$ da $2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 ({(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Passaggio 3.20.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{2 (- x)}{2 {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.20.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{- x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.21

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} + \frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

Passaggio 3.22

Moltiplica $\frac{1}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ per $\frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}} {(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.23

Moltiplica ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ per ${(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.23.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}$

Passaggio 3.23.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{1 + 1}{2}}}$

Passaggio 3.23.3

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{\frac{2}{2}}}$

Passaggio 3.23.4

Dividi $2$ per $2$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{{(1 - x^{2})}^{1}}$

Passaggio 3.24

Semplifica ${(1 - x^{2})}^{1}$ .

$\frac{x + arctanh (x) (1 - x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x + arctanh (x) \cdot 1 + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4.2

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Moltiplica $arctanh (x)$ per $1$ .

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}} - \frac{x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4.2.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x + arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) - x}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4.2.3

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2}) + 0}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4.2.4

Somma $arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})$ e $0$ .

$\frac{arctanh (x) + arctanh (x) (- x^{2})}{1 - x^{2}}$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$\frac{- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Scomponi $arctanh (x)$ da $- x^{2} arctanh (x) + arctanh (x)$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1.1

Scomponi $arctanh (x)$ da $- x^{2} arctanh (x)$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x)}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.1.2

Moltiplica per $1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.1.3

Scomponi $arctanh (x)$ da $arctanh (x) (- x^{2}) + arctanh (x) \cdot 1$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1)}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (- x^{2} + 1^{2})}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1^{2} - x^{2})}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.4.4

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1}$

Passaggio 4.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.5.1

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{- x^{2} + 1^{2}}$

Passaggio 4.5.2

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{1^{2} - x^{2}}$

Passaggio 4.5.3

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4.6

Elimina il fattore comune di $1 + x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.6.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{arctanh (x) (1 + x) (1 - x)}{(1 + x) (1 - x)}$

Passaggio 4.6.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.7

Elimina il fattore comune di $1 - x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.7.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{arctanh (x) (1 - x)}{1 - x}$

Passaggio 4.7.2

Dividi $arctanh (x)$ per $1$ .

$arctanh (x)$