Calcolo Esempi

$\frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Passaggio 1

Scrivi $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ come funzione.

$f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \frac{1}{\cos^{4} (x)} d x$

Passaggio 4

Converti da $\frac{1}{\cos^{4} (x)}$ a $\sec^{4} (x)$ .

$\int \sec^{4} (x) d x$

Passaggio 5

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $4$ come $2$ più $2$ .

$\int {\sec (x)}^{2 + 2} d x$

Passaggio 5.2

Riscrivi ${\sec (x)}^{2 + 2}$ come $\sec^{2} (x) \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{2} (x) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Usando l'identità pitagorica, riscrivi $\sec^{2} (x)$ come $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int (1 + \tan^{2} (x)) \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

Sia $u = \tan (x)$ . Allora $d u = \sec^{2} (x) d x$ , quindi $\frac{1}{\sec^{2} (x)} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 7.1

Sia $u = \tan (x)$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 7.1.1

Differenzia $\tan (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Passaggio 7.1.2

La derivata di $\tan (x)$ rispetto a $x$ è $\sec^{2} (x)$ .

$\sec^{2} (x)$

Passaggio 7.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int 1 + u^{2} d u$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u + \int u^{2} d u$

Passaggio 9

Applica la regola costante.

$u + C + \int u^{2} d u$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{2}$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$u + C + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 11

Semplifica.

$u + \frac{1}{3} u^{3} + C$

Passaggio 12

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\tan (x)$ .

$\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \frac{1}{\cos^{4} (x)}$ .

$F (x) =$ $\tan (x) + \frac{1}{3} \tan^{3} (x) + C$