Calcolo Esempi

$f (x) = x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{3}{2} x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{3}{2} x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$3 x^{2} - \frac{3}{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 (\frac{3}{2}) x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$3 x^{2} + \frac{- 2 \cdot 3}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.5

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6}{2} x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.6

$\frac{- 6}{2}$ e $x$ .

$3 x^{2} + \frac{- 6 x}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.7

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.1

Scomponi $2$ da $- 6 x$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 (1)} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$3 x^{2} + \frac{2 (- 3 x)}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$3 x^{2} + \frac{- 3 x}{1} + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.2.7.2.4

Dividi $- 3 x$ per $1$ .

$3 x^{2} - 3 x + \frac{d}{d x} [- 36 x]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 36$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 36 x$ rispetto a $x$ è $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 \cdot 1$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $- 36$ per $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 3 x - 36$

Passaggio 1.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36$

Passaggio 2

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$ .

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Passaggio 2.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$3 x^{2} - 3 x - 36 = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2} - 3 x - 36$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $3$ da $3 x^{2}$ .

$3 (x^{2}) - 3 x - 36 = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $3$ da $- 3 x$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) - 36 = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $3$ da $- 36$ .

$3 (x^{2}) + 3 (- x) + 3 (- 12) = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $3$ da $3 (x^{2}) + 3 (- x)$ .

$3 (x^{2} - x) + 3 (- 12) = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $3$ da $3 (x^{2} - x) + 3 (- 12)$ .

$3 (x^{2} - x - 12) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Scomponi $x^{2} - x - 12$ usando il metodo AC.

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Passaggio 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Trova una coppia di interi il cui prodotto è $c$ e la cui formula è $b$ . In questo caso, il cui prodotto è $- 12$ e la cui somma è $- 1$ .

$- 4, 3$

Passaggio 2.2.2.1.2

Scrivi la forma fattorizzata usando questi interi.

$3 ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$3 (x - 4) (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x - 4$ uguale a $0$ .

$x - 4 = 0$

Passaggio 2.4.2

Somma $4$ a entrambi i lati dell'equazione.

$x = 4$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $3 (x - 4) (x + 3) = 0$ vera.

$x = 4, - 3$

Passaggio 3

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 4

Risolvi $x^{3} - \frac{3}{2} x^{2} - 36 x$ per ciascun valore di $x$ dove la derivata è $0$ o indefinita.

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Passaggio 4.1

Calcola per $x = 4$ .

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Passaggio 4.1.1

Sostituisci $4$ a $x$ .

${(4)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2

Semplifica.

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Passaggio 4.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.1

Eleva $4$ alla potenza di $3$ .

$64 - \frac{3}{2} \cdot {(4)}^{2} - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.2

Eleva $4$ alla potenza di $2$ .

$64 - \frac{3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.3

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1.3.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{3}{2}$ nel numeratore.

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot 16 - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.3.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 (8)) - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.3.3

Elimina il fattore comune.

$64 + \frac{- 3}{2} \cdot (2 \cdot 8) - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.3.4

Riscrivi l'espressione.

$64 - 3 \cdot 8 - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $8$ .

$64 - 24 - 36 \cdot 4$

Passaggio 4.1.2.1.5

Moltiplica $- 36$ per $4$ .

$64 - 24 - 144$

Passaggio 4.1.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.2.1

Sottrai $24$ da $64$ .

$40 - 144$

Passaggio 4.1.2.2.2

Sottrai $144$ da $40$ .

$- 104$

Passaggio 4.2

Calcola per $x = - 3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.1

Sostituisci $- 3$ a $x$ .

${(- 3)}^{3} - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $3$ .

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot {(- 3)}^{2} - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $2$ .

$- 27 - \frac{3}{2} \cdot 9 - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.3

Moltiplica $- \frac{3}{2} \cdot 9$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.1.3.1

Moltiplica $9$ per $- 1$ .

$- 27 - 9 (\frac{3}{2}) - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.3.2

$- 9$ e $\frac{3}{2}$ .

$- 27 + \frac{- 9 \cdot 3}{2} - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.3.3

Moltiplica $- 9$ per $3$ .

$- 27 + \frac{- 27}{2} - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.4

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 27 - \frac{27}{2} - 36 \cdot - 3$

Passaggio 4.2.2.1.5

Moltiplica $- 36$ per $- 3$ .

$- 27 - \frac{27}{2} + 108$

Passaggio 4.2.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.2.1

Scrivi $- 27$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 27}{1} - \frac{27}{2} + 108$

Passaggio 4.2.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Passaggio 4.2.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 27}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + 108$

Passaggio 4.2.2.2.4

Scrivi $108$ come una frazione con denominatore $1$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1}$

Passaggio 4.2.2.2.5

Moltiplica $\frac{108}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 4.2.2.2.6

Moltiplica $\frac{108}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 27 \cdot 2}{2} - \frac{27}{2} + \frac{108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 27 \cdot 2 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.4.1

Moltiplica $- 27$ per $2$ .

$\frac{- 54 - 27 + 108 \cdot 2}{2}$

Passaggio 4.2.2.4.2

Moltiplica $108$ per $2$ .

$\frac{- 54 - 27 + 216}{2}$

Passaggio 4.2.2.5

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.2.2.5.1

Sottrai $27$ da $- 54$ .

$\frac{- 81 + 216}{2}$

Passaggio 4.2.2.5.2

Somma $- 81$ e $216$ .

$\frac{135}{2}$

Passaggio 4.3

Elenca tutti i punti.

$(4, - 104), (- 3, \frac{135}{2})$

Passaggio 5