Calcolo Esempi

$y = \frac{x - 6}{4 x}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima.

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Passaggio 1.1

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x - 6}{4 x}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$ .

$\frac{1}{4} \frac{d}{d x} [\frac{x - 6}{x}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = x - 6$ e $g (x) = x$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \frac{d}{d x} [x - 6] - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3

Differenzia.

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Passaggio 1.3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 6$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + \frac{d}{d x} [- 6]) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.3

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x (1 + 0) - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 1.3.4.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x \cdot 1 - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.4.2

Moltiplica $x$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6) \cdot 1}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.6

Riduci le frazioni.

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Passaggio 1.3.6.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{4} \cdot \frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$

Passaggio 1.3.6.2

Moltiplica $\frac{1}{4}$ per $\frac{x - (x - 6)}{x^{2}}$ .

$\frac{x - (x - 6)}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4

Semplifica.

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Passaggio 1.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{x - x - - 6}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4.2

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 1.4.2.1

Sottrai $x$ da $x$ .

$\frac{0 - - 6}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.2

Sottrai $- 6$ da $0$ .

$\frac{- - 6}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4.2.3

Moltiplica $- 1$ per $- 6$ .

$\frac{6}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4.3

Elimina il fattore comune di $6$ e $4$ .

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Passaggio 1.4.3.1

Scomponi $2$ da $6$ .

$\frac{2 (3)}{4 x^{2}}$

Passaggio 1.4.3.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 1.4.3.2.1

Scomponi $2$ da $4 x^{2}$ .

$\frac{2 (3)}{2 (2 x^{2})}$

Passaggio 1.4.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 3}{2 (2 x^{2})}$

Passaggio 1.4.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$f' (x) = \frac{3}{2 x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda.

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Passaggio 2.1

Poiché $\frac{3}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{3}{2 x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$

Passaggio 2.2

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 2.2.1

Riscrivi $\frac{1}{x^{2}}$ come ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}]$

Passaggio 2.2.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.2.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{2 \cdot - 1}]$

Passaggio 2.2.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{3}{2} \frac{d}{d x} [x^{- 2}]$

Passaggio 2.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = - 2$ .

$\frac{3}{2} (- 2 x^{- 3})$

Passaggio 2.4

Semplifica i termini.

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Passaggio 2.4.1

$- 2$ e $\frac{3}{2}$ .

$\frac{- 2 \cdot 3}{2} x^{- 3}$

Passaggio 2.4.2

Moltiplica $- 2$ per $3$ .

$\frac{- 6}{2} x^{- 3}$

Passaggio 2.4.3

$\frac{- 6}{2}$ e $x^{- 3}$ .

$\frac{- 6 x^{- 3}}{2}$

Passaggio 2.4.4

Sposta $x^{- 3}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{- 6}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.4.5

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $2$ .

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Passaggio 2.4.5.1

Scomponi $2$ da $- 6$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.4.5.2

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.4.5.2.1

Scomponi $2$ da $2 x^{3}$ .

$\frac{2 \cdot - 3}{2 (x^{3})}$

Passaggio 2.4.5.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 3}{2 x^{3}}$

Passaggio 2.4.5.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 3}{x^{3}}$

Passaggio 2.4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (x) = - \frac{3}{x^{3}}$