Calcolo Esempi

$\int \frac{{(x^{3} - 2 x)}^{3}}{x^{3}} d x$

Passaggio 1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} {(x^{3})}^{- 1} d x$

Passaggio 2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{3 \cdot - 1} d x$

Passaggio 2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$\int {(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3} d x$

Passaggio 3

Espandi ${(x^{3} - 2 x)}^{3} x^{- 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Usa il teorema binomiale.

$\int ({(x^{3})}^{3} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.2

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} {(x^{3})}^{2} + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.3

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 {(x^{3})}^{2} (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.4

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} {(- 2 x)}^{2} + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.5

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) + {(- 2 x)}^{3}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.6

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x {(- 2 x)}^{2}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.7

Riscrivi l'elevamento a potenza come un prodotto.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) - 2 x (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.8

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x))) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.9

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{3} (x^{3} x^{3}) + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x)) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.10

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{3} (x^{3} x^{3}) x^{- 3} + 3 (x^{3} x^{3}) (- 2 x) x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.11

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 x^{3} \cdot - 2 x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.12

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.13

Sposta $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.14

Sposta le parentesi.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.15

Sposta le parentesi.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 x^{3} (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.16

Sposta $x^{3}$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 x (- 2 x)) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.17

Sposta $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x \cdot x) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.18

Sposta le parentesi.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2 x) x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.19

Sposta le parentesi.

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 x (- 2 \cdot - 2) x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.20

Sposta $x$ .

$\int x^{3} x^{3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.21

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{3 + 3} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.22

Somma $3$ e $3$ .

$\int x^{6} x^{3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.23

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6 + 3} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.24

Somma $6$ e $3$ .

$\int x^{9} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.25

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{9 - 3} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.26

Sottrai $3$ da $9$ .

$\int x^{6} + 3 \cdot - 2 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.27

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{3} x^{3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.28

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{3 + 3} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.29

Somma $3$ e $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{6} x \cdot x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.30

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 (x^{6} x^{1}) x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.31

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{6 + 1} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.32

Somma $6$ e $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{7} x^{- 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.33

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{7 - 3} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.34

Sottrai $3$ da $7$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 3 \cdot - 2 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.35

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} - 6 \cdot - 2 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.36

Moltiplica $- 6$ per $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3} x \cdot x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.37

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{3} x^{1}) x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.38

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{3 + 1} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.39

Somma $3$ e $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4} x \cdot x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.40

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 (x^{4} x^{1}) x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.41

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{4 + 1} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.42

Somma $4$ e $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5} x^{- 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.43

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{5 - 3} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.44

Sottrai $3$ da $5$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 2 \cdot - 2 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.45

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} + 4 \cdot - 2 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.46

Moltiplica $4$ per $- 2$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x \cdot x \cdot x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.47

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x) x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.48

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{1} x^{1}) x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.49

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{1 + 1} x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.50

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2} x \cdot x^{- 3} d x$

Passaggio 3.51

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 (x^{2} x^{1}) x^{- 3} d x$

Passaggio 3.52

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{2 + 1} x^{- 3} d x$

Passaggio 3.53

Somma $2$ e $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3} x^{- 3} d x$

Passaggio 3.54

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{3 - 3} d x$

Passaggio 3.55

Sottrai $3$ da $3$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 x^{0} d x$

Passaggio 3.56

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 \cdot 1 d x$

Passaggio 3.57

Moltiplica $- 8$ per $1$ .

$\int x^{6} - 6 x^{4} + 12 x^{2} - 8 d x$

Passaggio 4

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{6} d x + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{6}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{7} x^{7}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C + \int - 6 x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Passaggio 6

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 6$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 \int x^{4} d x + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Passaggio 7

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{5} x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + \int 12 x^{2} d x + \int - 8 d x$

Passaggio 8

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , sposta $12$ fuori dall'integrale.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 \int x^{2} d x + \int - 8 d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int - 8 d x$

Passaggio 10

Applica la regola costante.

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{1}{5} x^{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Passaggio 11

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1.1

$\frac{1}{5}$ e $x^{5}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{1}{3} x^{3} + C) - 8 x + C$

Passaggio 11.1.2

$\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{7} x^{7} + C - 6 (\frac{x^{5}}{5} + C) + 12 (\frac{x^{3}}{3} + C) - 8 x + C$

Passaggio 11.2

Semplifica.

$\frac{x^{7}}{7} - \frac{6 x^{5}}{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$

Passaggio 12

Riordina i termini.

$\frac{1}{7} x^{7} - \frac{6}{5} x^{5} + 4 x^{3} - 8 x + C$