Calcolo Esempi

$\int \frac{9 x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Passaggio 1

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , sposta $9$ fuori dall'integrale.

$9 \int \frac{x^{7}}{x^{8} + 9} d x$

Passaggio 2

Sia $u = x^{8} + 9$ . Allora $d u = 8 x^{7} d x$ , quindi $\frac{1}{8} d u = x^{7} d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = x^{8} + 9$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $x^{8} + 9$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8} + 9]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{8} + 9$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{8}] + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 8$ .

$8 x^{7} + \frac{d}{d x} [9]$

Passaggio 2.1.4

Poiché $9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $9$ rispetto a $x$ è $0$ .

$8 x^{7} + 0$

Passaggio 2.1.5

Somma $8 x^{7}$ e $0$ .

$8 x^{7}$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$9 \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{8} d u$

Passaggio 3

Semplifica.

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Passaggio 3.1

Moltiplica $\frac{1}{u}$ per $\frac{1}{8}$ .

$9 \int \frac{1}{u \cdot 8} d u$

Passaggio 3.2

Sposta $8$ alla sinistra di $u$ .

$9 \int \frac{1}{8 u} d u$

Passaggio 4

Poiché $\frac{1}{8}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{8}$ fuori dall'integrale.

$9 (\frac{1}{8} \int \frac{1}{u} d u)$

Passaggio 5

$\frac{1}{8}$ e $9$ .

$\frac{9}{8} \int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{9}{8} (\ln (| u |) + C)$

Passaggio 7

Semplifica.

$\frac{9}{8} \ln (| u |) + C$

Passaggio 8

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $x^{8} + 9$ .

$\frac{9}{8} \ln (| x^{8} + 9 |) + C$