Calcolo Esempi

$\frac{y}{3 y^{2} - x}$

Passaggio 1

Differenzia usando la regola multipla costante.

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Passaggio 1.1

Poiché $y$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{y}{3 y^{2} - x}$ rispetto a $x$ è $y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$ .

$y \frac{d}{d x} [\frac{1}{3 y^{2} - x}]$

Passaggio 1.2

Riscrivi $\frac{1}{3 y^{2} - x}$ come ${(3 y^{2} - x)}^{- 1}$ .

$y \frac{d}{d x} [{(3 y^{2} - x)}^{- 1}]$

Passaggio 2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = 3 y^{2} - x$ .

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Passaggio 2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $3 y^{2} - x$ .

$y (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = - 1$ .

$y (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Passaggio 2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $3 y^{2} - x$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [3 y^{2} - x])$

Passaggio 3

Differenzia.

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Passaggio 3.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 y^{2} - x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [3 y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 3.2

Poiché $3 y^{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 y^{2}$ rispetto a $x$ è $0$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (0 + \frac{d}{d x} [- x]))$

Passaggio 3.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [- x])$

Passaggio 3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$y (- {(3 y^{2} - x)}^{- 2} (- \frac{d}{d x} [x]))$

Passaggio 3.5

Moltiplica.

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Passaggio 3.5.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$y (1 {(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.5.2

Moltiplica ${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ per $1$ .

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$y ({(3 y^{2} - x)}^{- 2} \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica ${(3 y^{2} - x)}^{- 2}$ per $1$ .

$y {(3 y^{2} - x)}^{- 2}$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$y \frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$

Passaggio 4.2

$y$ e $\frac{1}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$ .

$\frac{y}{{(3 y^{2} - x)}^{2}}$