Calcolo Esempi

$\int_{1}^{2} \frac{x^{2} - x - 5}{x + 2} d x$

Passaggio 1

Dividi $x^{2} - x - 5$ per $x + 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Imposta i polinomi da dividere. Se non c'è un termine per ogni esponente, inseriscine uno con un valore di $0$ .

$x$

$2$

$x^{2}$

$x$

$5$

Passaggio 1.2

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $x^{2}$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

					$x$
	$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$

Passaggio 1.3

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			+	$x^{2}$	+	$2 x$

Passaggio 1.4

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $x^{2} + 2 x$

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$

Passaggio 1.5

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$

Passaggio 1.6

Abbassa i termini successivi dal dividendo originale nel dividendo attuale.

				$x$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Passaggio 1.7

Dividi il termine di ordine più alto nel dividendo $- 3 x$ per il termine di ordine più alto nel divisore $x$ .

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$

Passaggio 1.8

Moltiplica il nuovo quoziente per il divisore.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					-	$3 x$	-	$6$

Passaggio 1.9

L'espressione deve essere sottratta dal dividendo; quindi, cambia tutti i segni in $- 3 x - 6$

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$

Passaggio 1.10

Dopo aver cambiato i segni, somma l'ultimo dividendo del polinomio moltiplicato per trovare il nuovo dividendo.

				$x$	-	$3$
$x$	+	$2$		$x^{2}$	-	$x$	-	$5$
			-	$x^{2}$	-	$2 x$
					-	$3 x$	-	$5$
					+	$3 x$	+	$6$
							+	$1$

Passaggio 1.11

La risposta finale è il quoziente più il resto sopra il divisore.

$\int_{1}^{2} x - 3 + \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 3

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 3 d x + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 4

Applica la regola costante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} \frac{1}{x + 2} d x$

Passaggio 5

Sia $u = x + 2$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = x + 2$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $x + 2$ .

$\frac{d}{d x} [x + 2]$

Passaggio 5.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $x + 2$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2]$

Passaggio 5.1.4

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2$ rispetto a $x$ è $0$ .

$1 + 0$

Passaggio 5.1.5

Somma $1$ e $0$ .

$1$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{lower} = 1 + 2$

Passaggio 5.3

Somma $1$ e $2$ .

$u_{lower} = 3$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $x$ in $u = x + 2$ .

$u_{upper} = 2 + 2$

Passaggio 5.5

Somma $2$ e $2$ .

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 3$

$u_{upper} = 4$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \int_{3}^{4} \frac{1}{u} d u$

Passaggio 6

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2} + - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Passaggio 7

$\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}$ e $- 3 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} - 3 x]_{1}^{2} + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Passaggio 8

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 8.1

Calcola $\frac{1}{2} x^{2} - 3 x$ per $2$ e per $1$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + \ln (| u |)]_{3}^{4}$

Passaggio 8.2

Calcola $\ln (| u |)$ per $4$ e per $3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 2^{2} - 3 \cdot 2) - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.1

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 4 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.2

$\frac{1}{2}$ e $4$ .

$\frac{4}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.3

Elimina il fattore comune di $4$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.1

Scomponi $2$ da $4$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.3.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.3.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.3.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.3.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{2}{1} - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.3.2.4

Dividi $2$ per $1$ .

$2 - 3 \cdot 2 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.4

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$2 - 6 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.5

Sottrai $6$ da $2$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$- 4 - (\frac{1}{2} \cdot 1 - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.7

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot 1) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.8

Moltiplica $- 3$ per $1$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.9

Per scrivere $- 3$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} - 3 \cdot \frac{2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.10

$- 3$ e $\frac{2}{2}$ .

$- 4 - (\frac{1}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.11

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$- 4 - \frac{1 - 3 \cdot 2}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.12

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.12.1

Moltiplica $- 3$ per $2$ .

$- 4 - \frac{1 - 6}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.12.2

Sottrai $6$ da $1$ .

$- 4 - \frac{- 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- 4 - - \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.14

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$- 4 + 1 (\frac{5}{2}) + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.15

Moltiplica $\frac{5}{2}$ per $1$ .

$- 4 + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.16

Per scrivere $- 4$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$- 4 \cdot \frac{2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.17

$- 4$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- 4 \cdot 2}{2} + \frac{5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.18

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{- 4 \cdot 2 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.19

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.3.19.1

Moltiplica $- 4$ per $2$ .

$\frac{- 8 + 5}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.19.2

Somma $- 8$ e $5$ .

$\frac{- 3}{2} + (\ln (| 4 |)) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 8.3.20

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2} + \ln (| 4 |) - \ln (| 3 |)$

Passaggio 9

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{| 4 |}{| 3 |})$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $4$ è $4$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{| 3 |})$

Passaggio 10.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$- \frac{3}{2} + \ln (\frac{4}{3})$

Forma decimale:

$- 1.21231792 \dots$

Passaggio 12