Calcolo Esempi

${(2 + e^{3 x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(2 + e^{3 x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Riscrivi ${(2 + e^{3 x})}^{2}$ come $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ .

$\int (2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x}) d x$

Passaggio 4.2

Espandi $(2 + e^{3 x}) (2 + e^{3 x})$ usando il metodo FOIL.

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Passaggio 4.2.1

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 (2 + e^{3 x}) + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Passaggio 4.2.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} (2 + e^{3 x}) d x$

Passaggio 4.2.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int 2 \cdot 2 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Passaggio 4.3

Semplifica e combina i termini simili.

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Passaggio 4.3.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 4.3.1.1

Moltiplica $2$ per $2$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + e^{3 x} \cdot 2 + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Passaggio 4.3.1.2

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{3 x}$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 \cdot e^{3 x} + e^{3 x} e^{3 x} d x$

Passaggio 4.3.1.3

Moltiplica $e^{3 x}$ per $e^{3 x}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.3.1.3.1

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{3 x + 3 x} d x$

Passaggio 4.3.1.3.2

Somma $3 x$ e $3 x$ .

$\int 4 + 2 e^{3 x} + 2 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Passaggio 4.3.2

Somma $2 e^{3 x}$ e $2 e^{3 x}$ .

$\int 4 + 4 e^{3 x} + e^{6 x} d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 4 d x + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 6

Applica la regola costante.

$4 x + C + \int 4 e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 7

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 x + C + 4 \int e^{3 x} d x + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 8

Sia $u_{1} = 3 x$ . Allora $d u_{1} = 3 d x$ , quindi $\frac{1}{3} d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Passaggio 8.1

Sia $u_{1} = 3 x$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Passaggio 8.1.1

Differenzia $3 x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x]$

Passaggio 8.1.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 8.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$3 \cdot 1$

Passaggio 8.1.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$3$

Passaggio 8.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$4 x + C + 4 \int e^{u_{1}} \frac{1}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 9

$e^{u_{1}}$ e $\frac{1}{3}$ .

$4 x + C + 4 \int \frac{e^{u_{1}}}{3} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 10

Poiché $\frac{1}{3}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{3}$ fuori dall'integrale.

$4 x + C + 4 (\frac{1}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1}) + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 11

$\frac{1}{3}$ e $4$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} \int e^{u_{1}} d u_{1} + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 12

L'integrale di $e^{u_{1}}$ rispetto a $u_{1}$ è $e^{u_{1}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{6 x} d x$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = 6 x$ . Allora $d u_{2} = 6 d x$ , quindi $\frac{1}{6} d u_{2} = d x$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = 6 x$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $6 x$ .

$\frac{d}{d x} [6 x]$

Passaggio 13.1.2

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$6 \cdot 1$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $6$ per $1$ .

$6$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int e^{u_{2}} \frac{1}{6} d u_{2}$

Passaggio 14

$e^{u_{2}}$ e $\frac{1}{6}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \int \frac{e^{u_{2}}}{6} d u_{2}$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{6}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{6}$ fuori dall'integrale.

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} \int e^{u_{2}} d u_{2}$

Passaggio 16

L'integrale di $e^{u_{2}}$ rispetto a $u_{2}$ è $e^{u_{2}}$ .

$4 x + C + \frac{4}{3} (e^{u_{1}} + C) + \frac{1}{6} (e^{u_{2}} + C)$

Passaggio 17

Semplifica.

$4 x + \frac{4}{3} e^{u_{1}} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $3 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{u_{2}} + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $6 x$ .

$4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$

Passaggio 19

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(2 + e^{3 x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $4 x + \frac{4}{3} e^{3 x} + \frac{1}{6} e^{6 x} + C$