Calcolo Esempi

$y = {(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2}$

Passaggio 1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3})}^{2})$

Passaggio 2

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 3

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 3.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$2 \frac{3 x - 1}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.2

$2$ e $\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \frac{d}{d x} [\frac{3 x - 1}{x^{2} + 3}]$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 3 x - 1$ e $g (x) = x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \frac{d}{d x} [3 x - 1] - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $3 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $3$ per $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.5

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) (3 + 0) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6

Semplifica l'espressione.

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Passaggio 3.4.6.1

Somma $3$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{(x^{2} + 3) \cdot 3 - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.6.2

Sposta $3$ alla sinistra di $x^{2} + 3$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 \cdot (x^{2} + 3) - (3 x - 1) \frac{d}{d x} [x^{2} + 3]}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.7

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} + 3$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.8

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + \frac{d}{d x} [3])}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.9

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x + 0)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10

Riduci le frazioni.

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Passaggio 3.4.10.1

Somma $2 x$ e $0$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - (3 x - 1) (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3} \cdot \frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.4.10.3

Moltiplica $\frac{2 (3 x - 1)}{x^{2} + 3}$ per $\frac{3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x}{{(x^{2} + 3)}^{2}}$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{(x^{2} + 3) {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5

Moltiplica $x^{2} + 3$ per ${(x^{2} + 3)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1

Moltiplica $x^{2} + 3$ per ${(x^{2} + 3)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.5.1.1

Eleva $x^{2} + 3$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1} {(x^{2} + 3)}^{2}}$

Passaggio 3.5.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{1 + 2}}$

Passaggio 3.5.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{2 (3 x - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6

Semplifica.

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Passaggio 3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 (x^{2} + 3) - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.2

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 + (- 2 (3 x) - 2 \cdot - 1) x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 (3 x) + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 3.6.5.1

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.6.5.1.1

Moltiplica $3$ per $2$ .

$\frac{(6 x + 2 \cdot - 1) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.1.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 3 \cdot 3 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.2.1

Moltiplica $3$ per $3$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x) x - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.2.2.1

Sposta $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 (x \cdot x)) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2.2.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 2 (3 x^{2}) - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2.3

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} - 2 \cdot - 1 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.2.4

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$\frac{(6 x - 2) (3 x^{2} + 9 - 6 x^{2} + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.3

Sottrai $6 x^{2}$ da $3 x^{2}$ .

$\frac{(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.4

Espandi $(6 x - 2) (- 3 x^{2} + 9 + 2 x)$ moltiplicando ciascun termine della prima espressione per ciascun termine della seconda espressione.

$\frac{6 x (- 3 x^{2}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.5.1

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{6 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.5.2.1

Sposta $x^{2}$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.2.2

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.5.2.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.2.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{6 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.2.3

Somma $2$ e $1$ .

$\frac{6 \cdot - 3 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.3

Moltiplica $6$ per $- 3$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 6 x \cdot 9 + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.4

Moltiplica $9$ per $6$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 x (2 x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.5

Riscrivi usando la proprietà commutativa della moltiplicazione.

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x \cdot x - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.6

Moltiplica $x$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.5.5.6.1

Sposta $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 (x \cdot x) - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.6.2

Moltiplica $x$ per $x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 6 \cdot 2 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.7

Moltiplica $6$ per $2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} - 2 (- 3 x^{2}) - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.8

Moltiplica $- 3$ per $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 2 \cdot 9 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.9

Moltiplica $- 2$ per $9$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 2 (2 x)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.5.10

Moltiplica $2$ per $- 2$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 54 x + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 - 4 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.6

Sottrai $4 x$ da $54 x$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 12 x^{2} + 6 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.5.7

Somma $12 x^{2}$ e $6 x^{2}$ .

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} - 18 + 50 x}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.6

Riordina i termini.

$\frac{- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7

Scomponi $2$ da $- 18 x^{3} + 18 x^{2} + 50 x - 18$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.6.7.1

Scomponi $2$ da $- 18 x^{3}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 18 x^{2} + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.2

Scomponi $2$ da $18 x^{2}$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 50 x - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.3

Scomponi $2$ da $50 x$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) - 18}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.4

Scomponi $2$ da $- 18$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.5

Scomponi $2$ da $2 (- 9 x^{3}) + 2 (9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.6

Scomponi $2$ da $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2}) + 2 (25 x)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.7.7

Scomponi $2$ da $2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x) + 2 (- 9)$ .

$\frac{2 (- 9 x^{3} + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.8

Scomponi $- 1$ da $- 9 x^{3}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) + 9 x^{2} + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.9

Scomponi $- 1$ da $9 x^{2}$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.10

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{3}) - (- 9 x^{2})$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) + 25 x - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.11

Scomponi $- 1$ da $25 x$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.12

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{3} - 9 x^{2}) - (- 25 x)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.13

Riscrivi $- 9$ come $- 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.14

Scomponi $- 1$ da $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x) - 1 (9)$ .

$\frac{2 (- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.15

Riscrivi $- (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ come $- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)$ .

$\frac{2 (- 1 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9))}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 3.6.16

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$

Passaggio 5

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 (9 x^{3} - 9 x^{2} - 25 x + 9)}{{(x^{2} + 3)}^{3}}$