Calcolo Esempi

$\int \frac{4 x - 2}{{(2 x - 1)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Sia $u = 2 x - 1$ . Allora $d u = 2 d x$ , quindi $\frac{1}{2} d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 1.1

Sia $u = 2 x - 1$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 1.1.1

Differenzia $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Passaggio 1.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 x - 1$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Passaggio 1.1.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Passaggio 1.1.4

Differenzia usando la regola della costante.

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Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$2 + 0$

Passaggio 1.1.4.2

Somma $2$ e $0$ .

$2$

Passaggio 1.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \frac{u}{u^{2}} d u$

Passaggio 2

Elimina il fattore comune di $u$ e $u^{2}$ .

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Passaggio 2.1

Eleva $u$ alla potenza di $1$ .

$\int \frac{u^{1}}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.2

Scomponi $u$ da $u^{1}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u^{2}} d u$

Passaggio 2.3

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 2.3.1

Scomponi $u$ da $u^{2}$ .

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Passaggio 2.3.2

Elimina il fattore comune.

$\int \frac{u \cdot 1}{u \cdot u} d u$

Passaggio 2.3.3

Riscrivi l'espressione.

$\int \frac{1}{u} d u$

Passaggio 3

L'integrale di $\frac{1}{u}$ rispetto a $u$ è $\ln (| u |)$ .

$\ln (| u |) + C$

Passaggio 4

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x - 1$ .

$\ln (| 2 x - 1 |) + C$