Calcolo Esempi

$\int_{1}^{\infty} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Passaggio 1

Scrivi l'integrale come un limite per $t$ tendente a $\infty$ .

$lim_{t \to \infty} \int_{1}^{t} \frac{1}{2 x^{2}} d x$

Passaggio 2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} \frac{1}{x^{2}} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} \int_{1}^{t} x^{- 2} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{1}{2} - x^{- 1}]_{1}^{t}$

Passaggio 5

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

$\frac{1}{2}$ e $- x^{- 1}]_{1}^{t}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- x^{- 1}]_{1}^{t}}{2}$

Passaggio 5.2

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Calcola $- x^{- 1}$ per $t$ e per $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{(- t^{- 1}) + 1^{- 1}}{2}$

Passaggio 5.2.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$lim_{t \to \infty} \frac{- t^{- 1} + 1}{2}$

Passaggio 5.3

Semplifica.

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $- 1$ da $- t^{- 1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) + 1}{2}$

Passaggio 5.3.2

Riscrivi $1$ come $- 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1}) - 1 (- 1)}{2}$

Passaggio 5.3.3

Scomponi $- 1$ da $- (t^{- 1}) - 1 (- 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- (t^{- 1} - 1)}{2}$

Passaggio 5.3.4

Riscrivi $- (t^{- 1} - 1)$ come $- 1 (t^{- 1} - 1)$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{- 1 (t^{- 1} - 1)}{2}$

Passaggio 5.3.5

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$lim_{t \to \infty} - \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Passaggio 6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sposta il termine $- 1$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- lim_{t \to \infty} \frac{t^{- 1} - 1}{2}$

Passaggio 6.2

Sposta il termine $\frac{1}{2}$ fuori dal limite perché è costante rispetto a $t$ .

$- \frac{1}{2} lim_{t \to \infty} t^{- 1} - 1$

Passaggio 6.3

Dividi il limite usando la regola della somma di limiti quando $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} t^{- 1} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.4

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{2} (lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.5

Poiché il suo numeratore tende a un numero reale, mentre il denominatore è illimitato, la frazione $\frac{1}{t}$ tende a $0$ .

$- \frac{1}{2} (0 - lim_{t \to \infty} 1)$

Passaggio 6.6

Calcola il limite.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.1

Calcola il limite di $1$ che è costante, mentre $t$ tende a $\infty$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1 \cdot 1)$

Passaggio 6.6.2

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.1

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{2} (0 - 1)$

Passaggio 6.6.2.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{2} \cdot - 1$

Passaggio 6.6.2.3

Moltiplica $- \frac{1}{2} \cdot - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.6.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1 (\frac{1}{2})$

Passaggio 6.6.2.3.2

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 7

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$\frac{1}{2}$

Forma decimale:

$0.5$