Calcolo Esempi

$2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$

Passaggio 1

Secondo la regola della somma, la derivata di $2 y e^{x} - y \cos (2 x y)$ rispetto a $y$ è $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

$\frac{d}{d y} [2 y e^{x}] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Passaggio 2

Calcola $\frac{d}{d y} [2 y e^{x}]$ .

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Passaggio 2.1

Poiché $2 e^{x}$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 y e^{x}$ rispetto a $y$ è $2 e^{x} \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} \frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Passaggio 2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} \cdot 1 + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Passaggio 2.3

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 e^{x} + \frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$

Passaggio 3

Calcola $\frac{d}{d y} [- y \cos (2 x y)]$ .

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Passaggio 3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $- y \cos (2 x y)$ rispetto a $y$ è $- \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$ .

$2 e^{x} - \frac{d}{d y} [y \cos (2 x y)]$

Passaggio 3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d y} [f (y) g (y)]$ è $f (y) \frac{d}{d y} [g (y)] + g (y) \frac{d}{d y} [f (y)]$ dove $f (y) = y$ e $g (y) = \cos (2 x y)$ .

$2 e^{x} - (y \frac{d}{d y} [\cos (2 x y)] + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d y} [f (g (y))]$ è $f' (g (y)) g' (y)$ dove $f (y) = \cos (y)$ e $g (y) = 2 x y$ .

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Passaggio 3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3.2

La derivata di $\cos (u)$ rispetto a $u$ è $- \sin (u)$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (u) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $2 x y$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) \frac{d}{d y} [2 x y]) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.4

Poiché $2 x$ è costante rispetto a $y$ , la derivata di $2 x y$ rispetto a $y$ è $2 x \frac{d}{d y} [y]$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \frac{d}{d y} [y])) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \frac{d}{d y} [y])$

Passaggio 3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ è $n y^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x \cdot 1)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Passaggio 3.7

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2 e^{x} - (y (- \sin (2 x y) (2 x)) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Passaggio 3.8

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y) \cdot 1)$

Passaggio 3.9

Moltiplica $\cos (2 x y)$ per $1$ .

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x) + \cos (2 x y))$

Passaggio 4

Semplifica.

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Passaggio 4.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 e^{x} - (y (- 2 \sin (2 x y) x)) - \cos (2 x y)$

Passaggio 4.2

Moltiplica $- 2$ per $- 1$ .

$2 e^{x} + 2 y (\sin (2 x y) x) - \cos (2 x y)$

Passaggio 4.3

Riordina i termini.

$2 x y \sin (2 x y) + 2 e^{x} - \cos (2 x y)$