Calcolo Esempi

$f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $24 x^{3} + 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [24 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (24 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [24 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $24$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $24 x^{3}$ rispetto a $x$ è $24 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 24 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = 24 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $3$ per $24$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x)$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $6$ per $1$ .

$f'' (x) = 72 x^{2} + 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $6 x^{4} + 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [6 x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [6 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $6 x^{4}$ rispetto a $x$ è $6 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$6 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$6 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $4$ per $6$ .

$24 x^{3} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$24 x^{3} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$24 x^{3} + 3 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $3$ .

$f' (x) = 24 x^{3} + 6 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $24 x^{3} + 6 x$ .

$24 x^{3} + 6 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $24 x^{3} + 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$24 x^{3} + 6 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $6 x$ da $24 x^{3} + 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6 x$ da $24 x^{3}$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $6 x$ da $6 x$ .

$6 x (4 x^{2}) + 6 x (1) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (4 x^{2}) + 6 x (1)$ .

$6 x (4 x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$4 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $4 x^{2} + 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $4 x^{2} + 1$ uguale a $0$ .

$4 x^{2} + 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $4 x^{2} + 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$4 x^{2} = - 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $4$ ciascun termine in $4 x^{2} = - 1$ .

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{4 x^{2}}{4} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x^{2}$ per $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 5.5.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$x^{2} = - \frac{1}{4}$

Passaggio 5.5.2.3

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$

Passaggio 5.5.2.4

Semplifica $\pm \sqrt{- \frac{1}{4}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.4.1

Riscrivi $- \frac{1}{4}$ come ${(\frac{i}{2})}^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{{(\frac{i}{2})}^{2}}$

Passaggio 5.5.2.4.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm \frac{i}{2}$

Passaggio 5.5.2.5

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.5.1

Per prima cosa, usa il valore positivo di $\pm$ per trovare la prima soluzione.

$x = \frac{i}{2}$

Passaggio 5.5.2.5.2

Ora, usa il valore negativo del $\pm$ per trovare la seconda soluzione.

$x = - \frac{i}{2}$

Passaggio 5.5.2.5.3

La soluzione completa è il risultato delle porzioni positiva e negativa della soluzione.

$x = \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (4 x^{2} + 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{i}{2}, - \frac{i}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$72 {(0)}^{2} + 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$72 \cdot 0 + 6$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $72$ per $0$ .

$0 + 6$

Passaggio 9.2

Somma $0$ e $6$ .

$6$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 6 {(0)}^{4} + 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 6 \cdot 0 + 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $6$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 3 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 6 x^{4} + 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

Passaggio 13