Calcolo Esempi

$f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Passaggio 1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Riordina i termini.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 1.7.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{3} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{3} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{1}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ è $a^{u_{1}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{3})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.8

Moltiplica $x^{3}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.1

Sposta $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.2

Moltiplica $x$ per $x^{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.8.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.8.3

Somma $1$ e $3$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.2.9

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} (2 x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x^{2}}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $2 x e^{- x^{2}}$ rispetto a $x$ è $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 \frac{d}{d x} (x e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u_{2}$ come $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (\frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ è $a^{u_{2}} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.3.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.4

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.5

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x))$

Passaggio 2.3.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.7

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.8

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.9

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.10

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.11

Somma $1$ e $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.12

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1)$

Passaggio 2.3.13

Moltiplica $e^{- x^{2}}$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}})$

Passaggio 2.4.2

Applica la proprietà distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{4} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.3

Raccogli i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.1

Moltiplica $- 2$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{4} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (3 x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.2

Moltiplica $3$ per $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 (e^{- x^{2}} (x^{2})) + 2 (x^{2} (- 2 e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.3

Moltiplica $- 2$ per $2$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 e^{- x^{2}} x^{2} - 4 (x^{2} (e^{- x^{2}})) + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.4

Sottrai $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ da $- 6 e^{- x^{2}} x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.3.4.1

Sposta $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 6 x^{2} e^{- x^{2}} - 4 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.3.4.2

Sottrai $4 x^{2} e^{- x^{2}}$ da $- 6 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.4

Riordina i termini.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 2.4.5

Riordina i fattori in $4 e^{- x^{2}} x^{4} - 10 e^{- x^{2}} x^{2} + 2 e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{4} e^{- x^{2}} - 10 x^{2} e^{- x^{2}} + 2 e^{- x^{2}}$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $- x^{2}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola esponenziale secondo cui $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ è $a^{u} \ln (a)$ dove $a$ = $e$ .

$x^{2} (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $- x^{2}$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $x^{2}$ per $x$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.1

Sposta $x$ .

$x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2

Moltiplica $x$ per $x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.4.2.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$x^{1} x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4.2.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.4.3

Somma $1$ e $2$ .

$x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.5

Sposta $- 2$ alla sinistra di $e^{- x^{2}}$ .

$x^{3} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.6

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)$

Passaggio 4.1.7

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.7.1

Riordina i termini.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$

Passaggio 4.1.7.2

Riordina i fattori in $- 2 e^{- x^{2}} x^{3} + 2 e^{- x^{2}} x$ .

$f' (x) = - 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $2 x e^{- x^{2}}$ da $- 2 x^{3} e^{- x^{2}} + 2 x e^{- x^{2}}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Scomponi $2 x e^{- x^{2}}$ da $- 2 x^{3} e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 5.2.1.2

Scomponi $2 x e^{- x^{2}}$ da $2 x e^{- x^{2}}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1) = 0$

Passaggio 5.2.1.3

Scomponi $2 x e^{- x^{2}}$ da $2 x e^{- x^{2}} (- x^{2}) + 2 x e^{- x^{2}} (1)$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1) = 0$

Passaggio 5.2.2

Riscrivi $1$ come $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (- x^{2} + 1^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.3

Riordina $- x^{2}$ e $1^{2}$ .

$2 x e^{- x^{2}} (1^{2} - x^{2}) = 0$

Passaggio 5.2.4

Scomponi.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.4.1

Poiché entrambi i termini sono dei quadrati perfetti, fattorizza usando la formula della differenza di quadrati, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ dove $a = 1$ e $b = x$ .

$2 x e^{- x^{2}} ((1 + x) (1 - x)) = 0$

Passaggio 5.2.4.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$e^{- x^{2}} = 0$

$1 + x = 0$

$1 - x = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $e^{- x^{2}}$ uguale a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $e^{- x^{2}} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Trova il logaritmo naturale dell'equazione assegnata per rimuovere la variabile dall'esponente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Passaggio 5.5.2.2

Non è possibile risolvere l'equazione perché $\ln (0)$ è indefinita.

Indefinito

Passaggio 5.5.2.3

Non c'è soluzione per $e^{- x^{2}} = 0$

Nessuna soluzione

Passaggio 5.6

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.6.1

Imposta $1 + x$ uguale a $0$ .

$1 + x = 0$

Passaggio 5.6.2

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 1$

Passaggio 5.7

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.1

Imposta $1 - x$ uguale a $0$ .

$1 - x = 0$

Passaggio 5.7.2

Risolvi $1 - x = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.1

Sottrai $1$ da entrambi i lati dell'equazione.

$- x = - 1$

Passaggio 5.7.2.2

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.1

Dividi per $- 1$ ciascun termine in $- x = - 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.7.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.2.1

Dividendo due valori negativi si ottiene un valore positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.7.2.2.2.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Passaggio 5.7.2.2.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.7.2.2.3.1

Dividi $- 1$ per $- 1$ .

$x = 1$

Passaggio 5.8

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $2 x e^{- x^{2}} (1 + x) (1 - x) = 0$ vera.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, - 1, 1$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(0)}^{4} e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$4 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$0 e^{- {(0)}^{2}} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 e^{- 0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.4

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 e^{0} - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.5

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 \cdot 1 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.6

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 - 10 {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.7

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 - 10 \cdot 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.8

Moltiplica $- 10$ per $0$ .

$0 + 0 e^{- {(0)}^{2}} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.9

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 e^{- 0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.10

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 e^{0} + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.11

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 \cdot 1 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.12

Moltiplica $0$ per $1$ .

$0 + 0 + 2 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 9.1.13

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{- 0}$

Passaggio 9.1.14

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$0 + 0 + 2 e^{0}$

Passaggio 9.1.15

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$0 + 0 + 2 \cdot 1$

Passaggio 9.1.16

Moltiplica $2$ per $1$ .

$0 + 0 + 2$

Passaggio 9.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$0 + 2$

Passaggio 9.2.2

Somma $0$ e $2$ .

$2$

Passaggio 10

$x = 0$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un minimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = {(0)}^{2} e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 e^{- {(0)}^{2}}$

Passaggio 11.2.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 e^{- 0}$

Passaggio 11.2.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$f (0) = 0 e^{0}$

Passaggio 11.2.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$f (0) = 0 \cdot 1$

Passaggio 11.2.5

Moltiplica $0$ per $1$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.6

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = - 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(- 1)}^{4} e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$4 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 e^{- {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$4 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$4 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$4 e^{{(- 1)}^{3}} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.6

$4$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.7

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.8

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.9

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.9.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.9.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{1 + 2}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.9.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{{(- 1)}^{3}} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.12

$- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.14

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.14.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.14.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 13.1.14.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 13.1.14.2

Somma $1$ e $2$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 13.1.15

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Passaggio 13.1.16

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Passaggio 13.1.17

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Passaggio 13.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Passaggio 13.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.2.2.1

Sottrai $10$ da $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Passaggio 13.2.2.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Passaggio 13.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{e}$

Passaggio 14

$x = - 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = - 1$ è un massimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 1$ nell'espressione.

$f (- 1) = {(- 1)}^{2} e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f (- 1) = 1 e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 15.2.2

Moltiplica $e^{- {(- 1)}^{2}}$ per $1$ .

$f (- 1) = e^{- {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 15.2.3

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $- 1$ per ${(- 1)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1.1

Eleva $- 1$ alla potenza di $1$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1} {(- 1)}^{2}}$

Passaggio 15.2.3.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{1 + 2}}$

Passaggio 15.2.3.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 1) = e^{{(- 1)}^{3}}$

Passaggio 15.2.4

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f (- 1) = e^{- 1}$

Passaggio 15.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- 1) = \frac{1}{e}$

Passaggio 15.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Passaggio 16

Calcola la derivata seconda per $x = 1$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$4 {(1)}^{4} e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.1.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.2

Moltiplica $4$ per $1$ .

$4 e^{- {(1)}^{2}} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$4 e^{- 1 \cdot 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$4 e^{- 1} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$4 \frac{1}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.6

$4$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - 10 {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.7

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{e} - 10 \cdot 1 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.8

Moltiplica $- 10$ per $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- {(1)}^{2}} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.9

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1 \cdot 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.10

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{e} - 10 e^{- 1} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.11

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - 10 \frac{1}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.12

$- 10$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} + \frac{- 10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.13

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 17.1.14

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 17.1.15

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 e^{- 1}$

Passaggio 17.1.16

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + 2 \frac{1}{e}$

Passaggio 17.1.17

$2$ e $\frac{1}{e}$ .

$\frac{4}{e} - \frac{10}{e} + \frac{2}{e}$

Passaggio 17.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{4 - 10 + 2}{e}$

Passaggio 17.2.2

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 17.2.2.1

Sottrai $10$ da $4$ .

$\frac{- 6 + 2}{e}$

Passaggio 17.2.2.2

Somma $- 6$ e $2$ .

$\frac{- 4}{e}$

Passaggio 17.2.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{4}{e}$

Passaggio 18

$x = 1$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 1$ è un massimo locale

Passaggio 19

Trova il valore di y quando $x = 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$f (1) = {(1)}^{2} e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 19.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.2.1

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = 1 e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 19.2.2

Moltiplica $e^{- {(1)}^{2}}$ per $1$ .

$f (1) = e^{- {(1)}^{2}}$

Passaggio 19.2.3

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (1) = e^{- 1 \cdot 1}$

Passaggio 19.2.4

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$f (1) = e^{- 1}$

Passaggio 19.2.5

Riscrivi l'espressione usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (1) = \frac{1}{e}$

Passaggio 19.2.6

La risposta finale è $\frac{1}{e}$ .

$y = \frac{1}{e}$

Passaggio 20

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$(0, 0)$ è un minimo locale

$(- 1, \frac{1}{e})$ è un massimo locale

$(1, \frac{1}{e})$ è un massimo locale

Passaggio 21