Calcolo Esempi

$e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Passaggio 1

Scrivi $e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ come funzione.

$f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)}) d x$

Passaggio 4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Moltiplica per $1$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x) \cdot 1}) d x$

Passaggio 4.1.2

Frazioni separate.

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \cdot \frac{1}{\cos^{2} (x)}) d x$

Passaggio 4.1.3

Converti da $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ a $\sec^{2} (x)$ .

$\int e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{1} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4.1.4

Dividi $e^{- x}$ per $1$ .

$\int e^{x} (2 + e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int e^{x} \cdot 2 + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4.3

Sposta $2$ alla sinistra di $e^{x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{x} (e^{- x} \sec^{2} (x)) d x$

Passaggio 4.4

Moltiplica $e^{x}$ per $e^{- x}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.4.1

Sposta $e^{- x}$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x} e^{x} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 4.4.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{- x + x} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 4.4.3

Somma $- x$ e $x$ .

$\int 2 \cdot e^{x} + e^{0} \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 4.5

Semplifica $e^{0} \sec^{2} (x)$ .

$\int 2 e^{x} + \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 5

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int 2 e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $x$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int e^{x} d x + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 7

L'integrale di $e^{x}$ rispetto a $x$ è $e^{x}$ .

$2 (e^{x} + C) + \int \sec^{2} (x) d x$

Passaggio 8

Poiché la derivata di $\tan (x)$ è $\sec^{2} (x)$ , l'integrale di $\sec^{2} (x)$ è $\tan (x)$ .

$2 (e^{x} + C) + \tan (x) + C$

Passaggio 9

Semplifica.

$2 e^{x} + \tan (x) + C$

Passaggio 10

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = e^{x} (2 + \frac{e^{- x}}{\cos^{2} (x)})$ .

$F (x) =$ $2 e^{x} + \tan (x) + C$