Calcolo Esempi

${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Passaggio 1

Scrivi ${(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ come funzione.

$f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2} d x$

Passaggio 4

Applica la regola del prodotto a $\frac{x^{2} + 1}{x}$ .

$\int \frac{{(x^{2} + 1)}^{2}}{x^{2}} d x$

Passaggio 5

Sposta $x^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Passaggio 6

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{2})}^{- 1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Passaggio 6.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

$\int {(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2} d x$

Passaggio 7

Espandi ${(x^{2} + 1)}^{2} x^{- 2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Riscrivi ${(x^{2} + 1)}^{2}$ come $(x^{2} + 1) (x^{2} + 1)$ .

$\int (x^{2} + 1) (x^{2} + 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.2

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} (x^{2} + 1) + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.3

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 (x^{2} + 1)) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1 + 1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.5

Applica la proprietà distributiva.

$\int (x^{2} x^{2} + x^{2} \cdot 1) x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.6

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + (1 x^{2} + 1 \cdot 1) x^{- 2} d x$

Passaggio 7.7

Applica la proprietà distributiva.

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + x^{2} \cdot 1 x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.8

Riordina $x^{2}$ e $1$ .

$\int x^{2} x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.9

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2 + 2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.10

Somma $2$ e $2$ .

$\int x^{4} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.11

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{4 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.12

Sottrai $2$ da $4$ .

$\int x^{2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.13

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\int x^{2} + x^{2} x^{- 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.14

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2} + x^{2 - 2} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.15

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int x^{2} + x^{0} + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.16

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.17

Moltiplica $x^{2}$ per $1$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{2} x^{- 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.18

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\int x^{2} + 1 + x^{2 - 2} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.19

Sottrai $2$ da $2$ .

$\int x^{2} + 1 + x^{0} + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.20

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 \cdot 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.21

Moltiplica $1$ per $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + 1 x^{- 2} d x$

Passaggio 7.22

Moltiplica $x^{- 2}$ per $1$ .

$\int x^{2} + 1 + 1 + x^{- 2} d x$

Passaggio 7.23

Somma $1$ e $1$ .

$\int x^{2} + 2 + x^{- 2} d x$

Passaggio 7.24

Riordina $2$ e $x^{- 2}$ .

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

$\int x^{2} + x^{- 2} + 2 d x$

Passaggio 8

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int x^{2} d x + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C + \int x^{- 2} d x + \int 2 d x$

Passaggio 10

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 2}$ rispetto a $x$ è $- x^{- 1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + \int 2 d x$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$\frac{1}{3} x^{3} + C - x^{- 1} + C + 2 x + C$

Passaggio 12

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 12.1

Semplifica.

$\frac{x^{3}}{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Passaggio 12.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

Passaggio 13

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = {(\frac{x^{2} + 1}{x})}^{2}$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{3} x^{3} - \frac{1}{x} + 2 x + C$

$[\begin{array}{c} x^{2} & \frac{1}{2} \\ \sqrt{π} & \int x d x \end{array}]$