Calcolo Esempi

$x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2} = 1$ , $(1, 0)$

Passaggio 1

Trova la derivata prima e risolvi $x = 1$ e $y = 0$ per trovare il coefficiente angolare della retta tangente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}) = \frac{d}{d x} (1)$

Passaggio 1.2

Differenzia il lato sinistro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{2} y^{2} - 2 x y + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.2.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.2.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.2.6

Sposta $2$ alla sinistra di $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x y]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x y$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola del prodotto secondo cui $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ è $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ dove $f (x) = x$ e $g (x) = y$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.3

Riscrivi $\frac{d}{d x} [y]$ come $y'$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.3.5

Moltiplica $y$ per $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.2.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y' + y) + 2 x$

Passaggio 1.2.5

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.5.1

Applica la proprietà distributiva.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 (x y') - 2 y + 2 x$

Passaggio 1.2.5.2

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' - 2 y + 2 x$

Passaggio 1.2.5.3

Riordina i termini.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y$

Passaggio 1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0$

Passaggio 1.4

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 x y' + 2 x - 2 y = 0$

Passaggio 1.5

Risolvi per $y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1

Sposta tutti i termini non contenenti $y'$ sul lato destro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.1.1

Sottrai $2 y^{2} x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' + 2 x - 2 y = - 2 y^{2} x$

Passaggio 1.5.1.2

Sottrai $2 x$ da entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' - 2 y = - 2 y^{2} x - 2 x$

Passaggio 1.5.1.3

Somma $2 y$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x^{2} y y' - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Passaggio 1.5.2

Scomponi $2 x y'$ da $2 x^{2} y y' - 2 x y'$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.2.1

Scomponi $2 x y'$ da $2 x^{2} y y'$ .

$2 x y' (x y) - 2 x y' = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Passaggio 1.5.2.2

Scomponi $2 x y'$ da $- 2 x y'$ .

$2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1 = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Passaggio 1.5.2.3

Scomponi $2 x y'$ da $2 x y' (x y) + 2 x y' \cdot - 1$ .

$2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$

Passaggio 1.5.3

Dividi per $2 x (x y - 1)$ ciascun termine in $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.1

Dividi per $2 x (x y - 1)$ ciascun termine in $2 x y' (x y - 1) = - 2 y^{2} x - 2 x + 2 y$ .

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x y' (x y - 1)}{2 x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2.1.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x y' (x y - 1)}{x (x y - 1)} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2.2.2

Riscrivi l'espressione.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2.3

Elimina il fattore comune di $x y - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.2.3.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{y' (x y - 1)}{x y - 1} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.2.3.2

Dividi $y'$ per $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.1

Scomponi $2$ da $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x y - 1)$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.1.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.2.1

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x (x y - 1)} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.2.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = \frac{- y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 2 x}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4

Elimina il fattore comune di $- 2$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.4.1

Scomponi $2$ da $- 2 x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.4.2.1

Scomponi $2$ da $2 x (x y - 1)$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4.2.2

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{2 (- x)}{2 (x (x y - 1))} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.4.2.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.5

Elimina il fattore comune di $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.5.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- x}{x (x y - 1)} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.5.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} + \frac{- 1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.7

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.1.7.1

Elimina il fattore comune.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{2 y}{2 x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.1.7.2

Riscrivi l'espressione.

$y' = - \frac{y^{2}}{x y - 1} - \frac{1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.2

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.3

Per scrivere $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{- y^{2} - 1}{x y - 1} \cdot \frac{x}{x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.4

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $(x y - 1) x$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.4.1

Moltiplica $\frac{- y^{2} - 1}{x y - 1}$ per $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{(x y - 1) x} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.4.2

Riordina i fattori di $(x y - 1) x$ .

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x}{x (x y - 1)} + \frac{y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$y' = \frac{(- y^{2} - 1) x + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.6

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.6.1

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{- y^{2} x - 1 x + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.6.2

Riscrivi $- 1 x$ come $- x$ .

$y' = \frac{- y^{2} x - x + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7

Semplifica tramite esclusione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.7.1

Scomponi $- 1$ da $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - x + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.2

Scomponi $- 1$ da $- x$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x) - (x) + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.3

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} x) - (x)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) + y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.4

Scomponi $- 1$ da $y$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x) - 1 (- y)}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.5

Scomponi $- 1$ da $- (y^{2} x + x) - 1 (- y)$ .

$y' = \frac{- (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.5.3.3.7.6.1

Riscrivi $- (y^{2} x + x - y)$ come $- 1 (y^{2} x + x - y)$ .

$y' = \frac{- 1 (y^{2} x + x - y)}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.5.3.3.7.6.2

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$y' = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y^{2} x + x - y}{x (x y - 1)}$

Passaggio 1.7

Calcola con $x = 1$ e $y = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $1$ nell'espressione.

$- \frac{y^{2} (1) + 1 - y}{(1) ((1) \cdot y - 1)}$

Passaggio 1.7.2

Sostituisci la variabile $y$ con $0$ nell'espressione.

$- \frac{{(0)}^{2} (1) + 1 - (0)}{(1) ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.3

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.3.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$- \frac{0 \cdot 1 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.3.2

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{0 + 1 - (0)}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.3.3

Moltiplica $- 1$ per $0$ .

$- \frac{0 + 1 + 0}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.3.4

Somma $0 + 1$ e $0$ .

$- \frac{0 + 1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.3.5

Somma $0$ e $1$ .

$- \frac{1}{1 ((1) \cdot (0) - 1)}$

Passaggio 1.7.4

Moltiplica $(1) \cdot (0) - 1$ per $1$ .

$- \frac{1}{(1) \cdot (0) - 1}$

Passaggio 1.7.5

Semplifica il denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.5.1

Moltiplica $0$ per $1$ .

$- \frac{1}{0 - 1}$

Passaggio 1.7.5.2

Sottrai $1$ da $0$ .

$- \frac{1}{- 1}$

Passaggio 1.7.6

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.7.6.1

Dividi $1$ per $- 1$ .

$- - 1$

Passaggio 1.7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$1$

Passaggio 2

Inserisci i valori del coefficiente angolare e del punto nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare e risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Sostituisci il coefficiente angolare $1$ e un punto dato $(1, 0)$ a $x_{1}$ e $y_{1}$ nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , che è derivata dall'equazione del coefficiente angolare $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (0) = 1 \cdot (x - (1))$

Passaggio 2.2

Semplifica l'equazione e mantienila nella formula della retta passante per un punto con coefficiente angolare.

$y + 0 = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3

Risolvi per $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Somma $y$ e $0$ .

$y = 1 \cdot (x - 1)$

Passaggio 2.3.2

Moltiplica $x - 1$ per $1$ .

$y = x - 1$

Passaggio 3