Calcolo Esempi

$\int \frac{3}{x^{3}} + 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 1

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{3}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 2

Poiché $3$ è costante rispetto a $x$ , sposta $3$ fuori dall'integrale.

$3 \int \frac{1}{x^{3}} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $x^{3}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$3 \int {(x^{3})}^{- 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$3 \int x^{3 \cdot - 1} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$3 \int x^{- 3} d x + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- 3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$3 (- \frac{1}{2} x^{- 2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

$x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$3 (- \frac{x^{- 2}}{2} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 5.2

Sposta $x^{- 2}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + \int 5 \sqrt{x} d x$

Passaggio 6

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int \sqrt{x} d x$

Passaggio 7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 8

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$3 (- \frac{1}{2 x^{2}} + C) + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 9

Semplifica.

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Passaggio 9.1

Semplifica.

$\frac{- 3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 9.2

Semplifica.

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Passaggio 9.2.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 9.2.2

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + 5 \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 9.2.3

$5$ e $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{5 (2 x^{\frac{3}{2}})}{3} + C$

Passaggio 9.2.4

Moltiplica $2$ per $5$ .

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 9.3

Riordina i termini.

$- \frac{3}{2 x^{2}} + \frac{10}{3} x^{\frac{3}{2}} + C$