Calcolo Esempi

$\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$

Passaggio 1

Riordina $e^{8 θ}$ e $\sin (9 θ)$ .

$\int \sin (9 θ) e^{8 θ} d θ$

Passaggio 2

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \sin (9 θ)$ e $d v = e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (9 \cos (9 θ)) d θ$

Passaggio 3

Poiché $\frac{1}{8} \cdot 9$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $\frac{1}{8} \cdot 9$ fuori dall'integrale.

$\sin (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Passaggio 4

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

$\frac{1}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$\sin (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Passaggio 4.2

$\sin (9 θ)$ e $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot 9 \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Passaggio 4.3

$\frac{1}{8}$ e $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int e^{8 θ} (\cos (9 θ)) d θ)$

Passaggio 4.4

Riordina $e^{8 θ}$ e $\cos (9 θ)$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} \int \cos (9 θ) e^{8 θ} d θ)$

Passaggio 5

Integra per parti usando la formula $\int u d v = u v - \int v d u$ , dove $u = \cos (9 θ)$ e $d v = e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - \int \frac{1}{8} e^{8 θ} (- 9 \sin (9 θ)) d θ))$

Passaggio 6

Poiché $\frac{1}{8} \cdot - 9$ è costante rispetto a $θ$ , sposta $\frac{1}{8} \cdot - 9$ fuori dall'integrale.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) (\frac{1}{8} e^{8 θ}) - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Passaggio 7

Semplifica i termini.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

$\frac{1}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\cos (9 θ) \frac{e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Passaggio 7.2

$\cos (9 θ)$ e $\frac{e^{8 θ}}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{1}{8} \cdot - 9 \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Passaggio 7.3

$\frac{1}{8}$ e $- 9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{9}{8} (\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)))$

Passaggio 7.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} \cdot \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Passaggio 7.5

Moltiplica $\frac{\cos (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ per $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{8 \cdot 8} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Passaggio 7.6

Moltiplica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.6.1

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} - \frac{9}{8} (- (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ))$

Passaggio 7.6.2

Moltiplica $- 1$ per $- 1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + 1 (\frac{9}{8}) (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Passaggio 7.6.3

Moltiplica $\frac{9}{8}$ per $1$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{9}{8} (\frac{- 9}{8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ)$

Passaggio 7.7

Moltiplica $\frac{- 9}{8}$ per $\frac{9}{8}$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 9 \cdot 9}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Passaggio 7.8

Moltiplica.

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Passaggio 7.8.1

Moltiplica $- 9$ per $9$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{8 \cdot 8} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Passaggio 7.8.2

Moltiplica $8$ per $8$ .

$\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64} + \frac{- 81}{64} \int e^{8 θ} (\sin (9 θ)) d θ$

Passaggio 8

Risolvendo $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ , troviamo che $\int e^{8 θ} \sin (9 θ) d θ$ = $\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) e^{8 θ} \cdot 9}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Passaggio 9

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Semplifica la risposta.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.1.1

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (9 θ) e^{8 θ}$ .

$\frac{\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cdot (\cos (9 θ) e^{8 θ})}{64}}{\frac{145}{64}} + C$

Passaggio 9.1.1.2

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{145}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.2

Riscrivi $(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ come $(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{1}{8} \sin (9 θ) e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.3.1

$\frac{1}{8}$ e $\sin (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ)}{8} e^{8 θ} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.3.2

$\frac{\sin (9 θ)}{8}$ e $e^{8 θ}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{9}{64} \cos (9 θ) e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.3.3

$\cos (9 θ)$ e $\frac{9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64} e^{8 θ}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.3.4

$e^{8 θ}$ e $\frac{\cos (9 θ) \cdot 9}{64}$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.3.5

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.1

Riordina i fattori in $\frac{\sin (9 θ) e^{8 θ}}{8}$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.4.2

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1.4.2.1

Riscrivi.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (\cos (9 θ) \cdot 9)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.4.2.2

Sposta $9$ alla sinistra di $\cos (9 θ)$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} (9 \cdot \cos (9 θ))}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.4.2.3

Rimuovi le parentesi non necessarie.

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{e^{8 θ} \cdot 9 \cos (9 θ)}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.1.4.3

Sposta $9$ alla sinistra di $e^{8 θ}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.2

Riscrivi $(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$ come $(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$ .

$(\frac{e^{8 θ} \sin (9 θ)}{8} - \frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}) \frac{64}{145} + C$

Passaggio 9.3

Riordina i fattori in $\frac{9 \cos (9 θ) e^{8 θ}}{64}$ .

$(\frac{1}{8} e^{8 θ} \sin (9 θ) - \frac{9}{64} e^{8 θ} \cos (9 θ)) \frac{64}{145} + C$