Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{6}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{6}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 6$ .

$- \frac{1}{3} (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $6$ per $- 1$ .

$- 6 (\frac{1}{3}) x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 6$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 6}{3} x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{- 6}{3}$ e $x^{5}$ .

$\frac{- 6 x^{5}}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 6$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 6 x^{5}$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- 2 x^{5})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 2 x^{5}}{1} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.4

Dividi $- 2 x^{5}$ per $1$ .

$- 2 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 x^{5} - 3 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 2 x^{5} - 3 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $5$ per $- 3$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$

Passaggio 1.1.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{15}{2} x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.1

Poiché $- \frac{15}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{15}{2} x^{4}$ rispetto a $x$ è $- \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - \frac{15}{2} (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.4.3

Moltiplica $4$ per $- 1$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 4 (\frac{15}{2}) x^{3}$

Passaggio 1.1.4.4

$- 4$ e $\frac{15}{2}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 4 \cdot 15}{2} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.5

Moltiplica $- 4$ per $15$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60}{2} x^{3}$

Passaggio 1.1.4.6

$\frac{- 60}{2}$ e $x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 60 x^{3}}{2}$

Passaggio 1.1.4.7

Elimina il fattore comune di $- 60$ e $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.1

Scomponi $2$ da $- 60 x^{3}$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2}$

Passaggio 1.1.4.7.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.4.7.2.1

Scomponi $2$ da $2$ .

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 (1)}$

Passaggio 1.1.4.7.2.2

Elimina il fattore comune.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{2 (- 30 x^{3})}{2 \cdot 1}$

Passaggio 1.1.4.7.2.3

Riscrivi l'espressione.

$- 2 x^{5} - 15 x^{4} + \frac{- 30 x^{3}}{1}$

Passaggio 1.1.4.7.2.4

Dividi $- 30 x^{3}$ per $1$ .

$f' (x) = - 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- 2 x^{5} - 15 x^{4} - 30 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- 2 x^{5}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 2$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 2 x^{5}$ rispetto a $x$ è $- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$- 2 \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$- 2 (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $5$ per $- 2$ .

$- 10 x^{4} + \frac{d}{d x} [- 15 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 15 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 15$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 15 x^{4}$ rispetto a $x$ è $- 15 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$- 10 x^{4} - 15 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$- 10 x^{4} - 15 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $4$ per $- 15$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$

Passaggio 1.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [- 30 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.4.1

Poiché $- 30$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 30 x^{3}$ rispetto a $x$ è $- 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.4.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 30 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.4.3

Moltiplica $3$ per $- 30$ .

$f'' (x) = - 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi il primo membro dell'equazione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 10 x^{4} - 60 x^{3} - 90 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1.1

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 10 x^{4}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 60 x^{3} - 90 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.2

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 60 x^{3}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 90 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.1.3

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 90 x^{2}$ .

$- 10 x^{2} x^{2} - 10 x^{2} (6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.4

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 10 x^{2} (x^{2}) - 10 x^{2} (6 x)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} \cdot 9 = 0$

Passaggio 2.2.1.5

Scomponi $- 10 x^{2}$ da $- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x) - 10 x^{2} (9)$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 9) = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi usando la regola del quadrato perfetto.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.2.1

Riscrivi $9$ come $3^{2}$ .

$- 10 x^{2} (x^{2} + 6 x + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.2

Verifica che il termine centrale sia il doppio del prodotto dei numeri elevati alla seconda potenza nel primo e nel terzo termine.

$6 x = 2 \cdot x \cdot 3$

Passaggio 2.2.2.3

Riscrivi il polinomio.

$- 10 x^{2} (x^{2} + 2 \cdot x \cdot 3 + 3^{2}) = 0$

Passaggio 2.2.2.4

Scomponi usando la regola del trinomio perfetto al quadrato $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , dove $a = x$ e $b = 3$ .

$- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta ${(x + 3)}^{2}$ uguale a $0$ .

${(x + 3)}^{2} = 0$

Passaggio 2.5.2

Risolvi ${(x + 3)}^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.2.1

Poni $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $- 10 x^{2} {(x + 3)}^{2} = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot {(0)}^{6} - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = - \frac{1}{3} \cdot 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Moltiplica $- \frac{1}{3} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 (\frac{1}{3}) - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Moltiplica $0$ per $\frac{1}{3}$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 + 0 - \frac{15}{2} \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.6

Moltiplica $- \frac{15}{2} \cdot 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.6.1

Moltiplica $0$ per $- 1$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0 (\frac{15}{2})$

Passaggio 3.1.2.1.6.2

Moltiplica $0$ per $\frac{15}{2}$ .

$f (0) = 0 + 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Semplifica aggiungendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.2.1

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 3)}^{6} - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $6$ .

$f (- 3) = - \frac{1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot 729 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $729$ .

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (243)) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 3) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 243) - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 3) = - 1 \cdot 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $243$ .

$f (- 3) = - 243 - 3 {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{5}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1

Moltiplica $- 3$ per ${(- 3)}^{5}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.4.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $1$ .

$f (- 3) = - 243 + (- 3) {(- 3)}^{5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{1 + 5} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.4.2

Somma $1$ e $5$ .

$f (- 3) = - 243 + {(- 3)}^{6} - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.5

Eleva $- 3$ alla potenza di $6$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.6

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{15}{2} \cdot 81$

Passaggio 3.3.2.1.7

Moltiplica $- \frac{15}{2} \cdot 81$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.7.1

Moltiplica $81$ per $- 1$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 - 81 (\frac{15}{2})$

Passaggio 3.3.2.1.7.2

$- 81$ e $\frac{15}{2}$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 81 \cdot 15}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.7.3

Moltiplica $- 81$ per $15$ .

$f (- 3) = - 243 + 729 + \frac{- 1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - 243 + 729 - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2

Trova il comune denominatore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.2.1

Scrivi $- 243$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} + 729 - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.2

Moltiplica $\frac{- 243}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{1} \cdot \frac{2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.3

Moltiplica $\frac{- 243}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + 729 - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.4

Scrivi $729$ come una frazione con denominatore $1$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.5

Moltiplica $\frac{729}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729}{1} \cdot \frac{2}{2} - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.2.6

Moltiplica $\frac{729}{1}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2}{2} + \frac{729 \cdot 2}{2} - \frac{1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.3

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (- 3) = \frac{- 243 \cdot 2 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.4

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.4.1

Moltiplica $- 243$ per $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 729 \cdot 2 - 1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.4.2

Moltiplica $729$ per $2$ .

$f (- 3) = \frac{- 486 + 1458 - 1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.5

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.5.1

Somma $- 486$ e $1458$ .

$f (- 3) = \frac{972 - 1215}{2}$

Passaggio 3.3.2.5.2

Sottrai $1215$ da $972$ .

$f (- 3) = \frac{- 243}{2}$

Passaggio 3.3.2.5.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (- 3) = - \frac{243}{2}$

Passaggio 3.3.2.6

La risposta finale è $- \frac{243}{2}$ .

$- \frac{243}{2}$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{6} - 3 x^{5} - \frac{15}{2} x^{4}$ è $(- 3, - \frac{243}{2})$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, - \frac{243}{2})$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 3, - \frac{243}{2})$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$f'' (- 3.1) = - 10 {(- 3.1)}^{4} - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- 3.1) = - 10 \cdot 92.3521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $92.3521$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 {(- 3.1)}^{3} - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 - 60 \cdot - 29.791 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $- 29.791$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.5

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 90 \cdot 9.61$

Passaggio 5.2.1.6

Moltiplica $- 90$ per $9.61$ .

$f'' (- 3.1) = - 923.521 + 1787.46 - 864.9$

Passaggio 5.2.2

Semplifica aggiungendo e sottraendo.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.2.1

Somma $- 923.521$ e $1787.46$ .

$f'' (- 3.1) = 863.939 - 864.9$

Passaggio 5.2.2.2

Sottrai $864.9$ da $863.939$ .

$f'' (- 3.1) = - 0.961$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 0.961$ .

$- 0.961$

Passaggio 5.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 0.961$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 {(- \frac{3}{2})}^{4} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} {(\frac{3}{2})}^{4}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 ({(- 1)}^{4} (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (1 (\frac{3^{4}}{2^{4}})) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Moltiplica $\frac{3^{4}}{2^{4}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{3^{4}}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $3$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 \frac{81}{2^{4}} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Eleva $2$ alla potenza di $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 10 (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.6.1

Scomponi $2$ da $- 10$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 (- 5) (\frac{81}{16}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.2

Scomponi $2$ da $16$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = 2 \cdot (- 5 \frac{81}{2 \cdot 8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - 5 (\frac{81}{8}) - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

$- 5$ e $\frac{81}{8}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 5 \cdot 81}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Moltiplica $- 5$ per $81$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 {(- \frac{3}{2})}^{3} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.10

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.10.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.10.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.11

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.12

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{2^{3}}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (- \frac{27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.14.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 60 (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14.2

Scomponi $4$ da $- 60$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 (- 15) (\frac{- 27}{8}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14.4

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 4 \cdot (- 15 \frac{- 27}{4 \cdot 2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.14.5

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} - 15 (\frac{- 27}{2}) - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.15

$- 15$ e $\frac{- 27}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{- 15 \cdot - 27}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.16

Moltiplica $- 15$ per $- 27$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.17

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.17.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Passaggio 6.2.1.17.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.18

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.19

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{3^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.20

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 \frac{9}{2^{2}}$

Passaggio 6.2.1.21

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 90 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.22

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.22.1

Scomponi $2$ da $- 90$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 (- 45) (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.22.2

Scomponi $2$ da $4$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.1.22.3

Elimina il fattore comune.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + 2 \cdot (- 45 \frac{9}{2 \cdot 2})$

Passaggio 6.2.1.22.4

Riscrivi l'espressione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - 45 (\frac{9}{2})$

Passaggio 6.2.1.23

$- 45$ e $\frac{9}{2}$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 45 \cdot 9}{2}$

Passaggio 6.2.1.24

Moltiplica $- 45$ per $9$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} + \frac{- 405}{2}$

Passaggio 6.2.1.25

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{405}{2} - \frac{405}{2}$

Passaggio 6.2.2

Riduci le frazioni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.2.1

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{405 - 405}{2}$

Passaggio 6.2.2.2

Sottrai $405$ da $405$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 405}{8} + \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.3

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.3.1

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + \frac{0}{2}$

Passaggio 6.2.3.2

Dividi $0$ per $2$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8} + 0$

Passaggio 6.2.4

Somma $- \frac{405}{8}$ e $0$ .

$f'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{405}{8}$

Passaggio 6.2.5

La risposta finale è $- \frac{405}{8}$ .

$- \frac{405}{8}$

Passaggio 6.3

Per $- \frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $- 50.625$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 3, 0)$ .

Decrescente su $(- 3, 0)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$f'' (0.1) = - 10 {(0.1)}^{4} - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $4$ .

$f'' (0.1) = - 10 \cdot 0.0001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $- 10$ per $0.0001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 {(0.1)}^{3} - 90 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 60 \cdot 0.001 - 90 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $- 60$ per $0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.5

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 90 \cdot 0.01$

Passaggio 7.2.1.6

Moltiplica $- 90$ per $0.01$ .

$f'' (0.1) = - 0.001 - 0.06 - 0.9$

Passaggio 7.2.2

Semplifica sottraendo i numeri.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.2.1

Sottrai $0.06$ da $- 0.001$ .

$f'' (0.1) = - 0.061 - 0.9$

Passaggio 7.2.2.2

Sottrai $0.9$ da $- 0.061$ .

$f'' (0.1) = - 0.961$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $- 0.961$ .

$- 0.961$

Passaggio 7.3

Per $0.1$ , la derivata seconda è $- 0.961$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(0, \infty)$ .

Decrescente su $(0, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia segno, da più a meno o da meno a più. Sul grafico non ci sono punti che soddisfano queste condizioni.

Nessun punto di flesso