Calcolo Esempi

$y = \sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$

Passaggio 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt[3]{\frac{1 + x^{2}}{x - 4}}$ come ${(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$ .

$y = {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}}$

Passaggio 2

Differenzia entrambi i lati dell'equazione.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3}})$

Passaggio 3

La derivata di $y$ rispetto a $x$ è $y'$ .

$y'$

Passaggio 4

Differenzia il lato destro dell'equazione.

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Passaggio 4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

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Passaggio 4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ è $n u^{n - 1}$ dove $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\frac{1 + x^{2}}{x - 4}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.2

Per scrivere $- 1$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.3

$- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.5

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.5.1

Moltiplica $- 1$ per $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.5.2

Sottrai $3$ da $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1 + x^{2}}{x - 4}]$

Passaggio 4.7

Differenzia usando la regola del quoziente secondo cui $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ è $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ dove $f (x) = 1 + x^{2}$ e $g (x) = x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [1 + x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8

Differenzia.

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Passaggio 4.8.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.2

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (0 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.3

Somma $0$ e $\frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) \frac{d}{d x} [x^{2}] - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{(x - 4) (2 x) - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.5

Sposta $2$ alla sinistra di $x - 4$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 \cdot (x - 4) x - (1 + x^{2}) \frac{d}{d x} [x - 4]}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.6

Secondo la regola della somma, la derivata di $x - 4$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.7

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- 4])}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.8

Poiché $- 4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 4$ rispetto a $x$ è $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) (1 + 0)}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.9

Riduci le frazioni.

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Passaggio 4.8.9.1

Somma $1$ e $0$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2}) \cdot 1}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.9.2

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}} \frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$

Passaggio 4.8.9.3

Moltiplica $\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2}}$ per $\frac{1}{3}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{{(x - 4)}^{2} \cdot 3} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 4.8.9.4

Sposta $3$ alla sinistra di ${(x - 4)}^{2}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 \cdot {(x - 4)}^{2}} {(\frac{1 + x^{2}}{x - 4})}^{- \frac{2}{3}}$

Passaggio 4.9

Semplifica.

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Passaggio 4.9.1

Cambia il segno dell'esponente riscrivendo la base come il suo reciproco.

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} {(\frac{x - 4}{1 + x^{2}})}^{\frac{2}{3}}$

Passaggio 4.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{x - 4}{1 + x^{2}}$ .

$\frac{2 (x - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.3

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{(2 x + 2 \cdot - 4) x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.4

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - (1 + x^{2})}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.5

Applica la proprietà distributiva.

$\frac{2 x \cdot x + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6

Raccogli i termini.

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Passaggio 4.9.6.1

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.2

Eleva $x$ alla potenza di $1$ .

$\frac{2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.3

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{2 x^{1 + 1} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.4

Somma $1$ e $1$ .

$\frac{2 x^{2} + 2 \cdot - 4 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.5

Moltiplica $2$ per $- 4$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 \cdot 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.6

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$\frac{2 x^{2} - 8 x - 1 - x^{2}}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.7

Sottrai $x^{2}$ da $2 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}} \cdot \frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.8

Moltiplica $\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2}}$ per $\frac{{(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{{(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$ .

$\frac{(x^{2} - 8 x - 1) {(x - 4)}^{\frac{2}{3}}}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.9

Sposta ${(x - 4)}^{\frac{2}{3}}$ al denominatore usando la regola dell'esponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}} {(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10

Moltiplica ${(x - 4)}^{2}$ per ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ sommando gli esponenti.

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Passaggio 4.9.6.10.1

Sposta ${(x - 4)}^{- \frac{2}{3}}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 ({(x - 4)}^{- \frac{2}{3}} {(x - 4)}^{2}) {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.3

Per scrivere $2$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.4

$2$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.5

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.6

Semplifica il numeratore.

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Passaggio 4.9.6.10.6.1

Moltiplica $2$ per $3$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{- 2 + 6}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 4.9.6.10.6.2

Somma $- 2$ e $6$ .

$\frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 5

Forma nuovamente l'equazione eguagliando il lato sinistro al lato destro.

$y' = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$

Passaggio 6

Sostituisci $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 8 x - 1}{3 {(x - 4)}^{\frac{4}{3}} {(1 + x^{2})}^{\frac{2}{3}}}$