Calcolo Esempi

$\int (\frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4}) d x$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int \frac{4}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 3

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , sposta $4$ fuori dall'integrale.

$4 \int \frac{1}{\sqrt{x}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 4

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 4.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 \int \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 4.2

Sposta $x^{\frac{1}{2}}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$4 \int {(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 4.3

Moltiplica gli esponenti in ${(x^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Passaggio 4.3.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \int x^{\frac{1}{2} \cdot - 1} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 4.3.2

$\frac{1}{2}$ e $- 1$ .

$4 \int x^{\frac{- 1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 4.3.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$4 \int x^{- \frac{1}{2}} d x + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 5

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{- \frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $2 x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) + \int - \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 6

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \int \frac{\sqrt{x}}{4} d x$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{4}$ è costante rispetto a $x$ , sposta $\frac{1}{4}$ fuori dall'integrale.

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - (\frac{1}{4} \int \sqrt{x} d x)$

Passaggio 8

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ per riscrivere $\sqrt{x}$ come $x^{\frac{1}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} \int x^{\frac{1}{2}} d x$

Passaggio 9

Secondo la regola della potenza, l'intero di $x^{\frac{1}{2}}$ rispetto a $x$ è $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$4 (2 x^{\frac{1}{2}} + C) - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} + C)$

Passaggio 10

Semplifica.

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Passaggio 10.1

Semplifica.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}) + C$

Passaggio 10.2

Semplifica.

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Passaggio 10.2.1

$\frac{2}{3}$ e $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{4} \cdot \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3} + C$

Passaggio 10.2.2

Moltiplica $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ per $\frac{1}{4}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3 \cdot 4} + C$

Passaggio 10.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{12} + C$

Passaggio 10.2.4

Scomponi $2$ da $2 x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 (x^{\frac{3}{2}})}{12} + C$

Passaggio 10.2.5

Elimina i fattori comuni.

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Passaggio 10.2.5.1

Scomponi $2$ da $12$ .

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Passaggio 10.2.5.2

Elimina il fattore comune.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{2 \cdot 6} + C$

Passaggio 10.2.5.3

Riscrivi l'espressione.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{x^{\frac{3}{2}}}{6} + C$

Passaggio 11

Riordina i termini.

$8 x^{\frac{1}{2}} - \frac{1}{6} x^{\frac{3}{2}} + C$