Calcolo Esempi

$\sin^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 1

Scrivi $\sin^{2} (\frac{x}{2})$ come funzione.

$f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$

Passaggio 2

È possibile trovare la funzione $F (x)$ determinando l'integrale indefinito della derivata $f (x)$ .

$F (x) = \int f (x) d x$

Passaggio 3

Imposta l'integrale per risolvere.

$F (x) = \int \sin^{2} (\frac{x}{2}) d x$

Passaggio 4

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Allora $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , quindi $2 d u_{1} = d x$ . Riscrivi usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Sia $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Trova $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Differenzia $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Passaggio 4.1.2

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $\frac{x}{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 4.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Passaggio 4.1.4

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $1$ .

$\frac{1}{2}$

Passaggio 4.2

Riscrivi il problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Moltiplica per il reciproco della frazione per dividere per $\frac{1}{2}$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) (1 \cdot 2) d u_{1}$

Passaggio 5.2

Moltiplica $2$ per $1$ .

$\int \sin^{2} (u_{1}) \cdot 2 d u_{1}$

Passaggio 5.3

Sposta $2$ alla sinistra di $\sin^{2} (u_{1})$ .

$\int 2 \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 6

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int \sin^{2} (u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 7

Usa la formula di bisezione per riscrivere $\sin^{2} (u_{1})$ come $\frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2}$ .

$2 \int \frac{1 - \cos (2 u_{1})}{2} d u_{1}$

Passaggio 8

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$2 (\frac{1}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1})$

Passaggio 9

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

$\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.2.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2}{2} \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.2.2

Riscrivi l'espressione.

$1 \int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 9.3

Moltiplica $\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$ per $1$ .

$\int 1 - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 10

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int d u_{1} + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 11

Applica la regola costante.

$u_{1} + C + \int - \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 12

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $u_{1}$ , sposta $- 1$ fuori dall'integrale.

$u_{1} + C - \int \cos (2 u_{1}) d u_{1}$

Passaggio 13

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Allora $d u_{2} = 2 d u_{1}$ , quindi $\frac{1}{2} d u_{2} = d u_{1}$ . Riscrivi usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Sia $u_{2} = 2 u_{1}$ . Trova $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Passaggio 13.1.1

Differenzia $2 u_{1}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [2 u_{1}]$

Passaggio 13.1.2

Poiché $2$ è costante rispetto a $u_{1}$ , la derivata di $2 u_{1}$ rispetto a $u_{1}$ è $2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$ .

$2 \frac{d}{d u_{1}} [u_{1}]$

Passaggio 13.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ è $n {u_{1}}^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Passaggio 13.1.4

Moltiplica $2$ per $1$ .

$2$

Passaggio 13.2

Riscrivi il problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$u_{1} + C - \int \cos (u_{2}) \frac{1}{2} d u_{2}$

Passaggio 14

$\cos (u_{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$u_{1} + C - \int \frac{\cos (u_{2})}{2} d u_{2}$

Passaggio 15

Poiché $\frac{1}{2}$ è costante rispetto a $u_{2}$ , sposta $\frac{1}{2}$ fuori dall'integrale.

$u_{1} + C - (\frac{1}{2} \int \cos (u_{2}) d u_{2})$

Passaggio 16

L'integrale di $\cos (u_{2})$ rispetto a $u_{2}$ è $\sin (u_{2})$ .

$u_{1} + C - \frac{1}{2} (\sin (u_{2}) + C)$

Passaggio 17

Semplifica.

$u_{1} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 18

Sostituisci al posto di ogni variabile di integrazione per sostituzione.

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Passaggio 18.1

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (u_{2}) + C$

Passaggio 18.2

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{2}$ con $2 u_{1}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 u_{1}) + C$

Passaggio 18.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u_{1}$ con $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (2 \frac{x}{2}) + C$

Passaggio 19

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 19.1

$2$ e $\frac{x}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{1}{2} \sin (\frac{2 x}{2}) + C$

Passaggio 19.2

$\sin (\frac{2 x}{2})$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Passaggio 20

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 20.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (\frac{2 x}{2})}{2} + C$

Passaggio 20.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$\frac{x}{2} - \frac{\sin (x)}{2} + C$

Passaggio 20.2

Riordina i termini.

$\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$

Passaggio 21

La risposta è l'antiderivata della funzione $f (x) = \sin^{2} (\frac{x}{2})$ .

$F (x) =$ $\frac{1}{2} x - \frac{1}{2} \sin (x) + C$