Calcolo Esempi

$f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- \frac{1}{3} x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $- \frac{1}{3}$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- \frac{1}{3} x^{3}$ rispetto a $x$ è $- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- \frac{1}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$- \frac{1}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $3$ per $- 1$ .

$- 3 (\frac{1}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.4

$- 3$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{- 3}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.5

$\frac{- 3}{3}$ e $x^{2}$ .

$\frac{- 3 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6

Elimina il fattore comune di $- 3$ e $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.1

Scomponi $3$ da $- 3 x^{2}$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2

Elimina i fattori comuni.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.6.2.1

Scomponi $3$ da $3$ .

$\frac{3 (- x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{3 (- x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.3

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.2.6.2.4

Dividi $- x^{2}$ per $1$ .

$- x^{2} + \frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$

Passaggio 1.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 9 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.3.1

Poiché $- 9$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 9 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- x^{2} - 9 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- x^{2} - 9 (2 x)$

Passaggio 1.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 9$ .

$f' (x) = - x^{2} - 18 x$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $- x^{2} - 18 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

$\frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $- 1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- x^{2}$ rispetto a $x$ è $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$- \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$- (2 x) + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$- 2 x + \frac{d}{d x} [- 18 x]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 18 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $- 18$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 18 x$ rispetto a $x$ è $- 18 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 2 x - 18 \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$- 2 x - 18 \cdot 1$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $- 18$ per $1$ .

$f'' (x) = - 2 x - 18$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $f (x)$ rispetto a $x$ è $- 2 x - 18$ .

$- 2 x - 18$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $- 2 x - 18 = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$- 2 x - 18 = 0$

Passaggio 2.2

Somma $18$ a entrambi i lati dell'equazione.

$- 2 x = 18$

Passaggio 2.3

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 18$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Dividi per $- 2$ ciascun termine in $- 2 x = 18$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Passaggio 2.3.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1

Elimina il fattore comune di $- 2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{18}{- 2}$

Passaggio 2.3.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{18}{- 2}$

Passaggio 2.3.3

Semplifica il lato destro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.3.1

Dividi $18$ per $- 2$ .

$x = - 9$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $- 9$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9$ nell'espressione.

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot {(- 9)}^{3} - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$f (- 9) = - \frac{1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{1}{3}$ nel numeratore.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot - 729 - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.2

Scomponi $3$ da $- 729$ .

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 (- 243)) - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.3

Elimina il fattore comune.

$f (- 9) = \frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot - 243) - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.2.4

Riscrivi l'espressione.

$f (- 9) = - 1 \cdot - 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $- 1$ per $- 243$ .

$f (- 9) = 243 - 9 {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4

Moltiplica $- 9$ per ${(- 9)}^{2}$ sommando gli esponenti.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1

Moltiplica $- 9$ per ${(- 9)}^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.4.1.1

Eleva $- 9$ alla potenza di $1$ .

$f (- 9) = 243 + (- 9) {(- 9)}^{2}$

Passaggio 3.1.2.1.4.1.2

Usa la regola della potenza $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ per combinare gli esponenti.

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{1 + 2}$

Passaggio 3.1.2.1.4.2

Somma $1$ e $2$ .

$f (- 9) = 243 + {(- 9)}^{3}$

Passaggio 3.1.2.1.5

Eleva $- 9$ alla potenza di $3$ .

$f (- 9) = 243 - 729$

Passaggio 3.1.2.2

Sottrai $729$ da $243$ .

$f (- 9) = - 486$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $- 486$ .

$- 486$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $- 9$ in $f (x) = - \frac{1}{3} x^{3} - 9 x^{2}$ è $(- 9, - 486)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 9, - 486)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 9) \cup (- 9, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 9)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 9.1$ nell'espressione.

$f'' (- 9.1) = - 2 \cdot - 9.1 - 18$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 9.1$ .

$f'' (- 9.1) = 18.2 - 18$

Passaggio 5.2.2

Sottrai $18$ da $18.2$ .

$f'' (- 9.1) = 0.2$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $0.2$ .

$0.2$

Passaggio 5.3

In corrispondenza di $- 9.1$ , la derivata seconda è $0.2$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- \infty, - 9)$ .

Crescente su $(- \infty, - 9)$ perché $f'' (x) > 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 9, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 8.9$ nell'espressione.

$f'' (- 8.9) = - 2 \cdot - 8.9 - 18$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Moltiplica $- 2$ per $- 8.9$ .

$f'' (- 8.9) = 17.8 - 18$

Passaggio 6.2.2

Sottrai $18$ da $17.8$ .

$f'' (- 8.9) = - 0.2$

Passaggio 6.2.3

La risposta finale è $- 0.2$ .

$- 0.2$

Passaggio 6.3

Per $- 8.9$ , la derivata seconda è $- 0.2$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- 9, \infty)$ .

Decrescente su $(- 9, \infty)$ perché $f'' (x) < 0$

Passaggio 7

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 9, - 486)$ .

$(- 9, - 486)$

Passaggio 8