Calcolo Esempi

$\sum_{k = 1}^{8} - 1 (\frac{2}{3}) k - 1$

Passaggio 1

Semplifica la sommatoria.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Riscrivi $- 1 (\frac{2}{3})$ come $- (\frac{2}{3})$ .

$- (\frac{2}{3}) \cdot k - 1$

Passaggio 1.1.2

$k$ e $\frac{2}{3}$ .

$- \frac{k \cdot 2}{3} - 1$

Passaggio 1.1.3

Sposta $2$ alla sinistra di $k$ .

$- \frac{2 k}{3} - 1$

Passaggio 1.2

Riscrivi la sommatoria.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1$

Passaggio 2

Dividi la sommatoria in sommatorie più piccole che soddisfino le regole per le sommatorie.

$\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} - 1 = \sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3} + \sum_{k = 1}^{8} - 1$

Passaggio 3

Calcola $\sum_{k = 1}^{8} - \frac{2 k}{3}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Metti in evidenza $- \frac{2}{3}$ nella sommatoria.

$(- \frac{2}{3}) \sum_{k = 1}^{8} k$

Passaggio 3.2

La formula per la sommatoria di un polinomio con grado $1$ è:

$\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n (n + 1)}{2}$

Passaggio 3.3

Sostituisci i valori nella formula accertandoti di eseguire la moltiplicazione per il termine anteriore.

$(- \frac{2}{3}) (\frac{8 (8 + 1)}{2})$

Passaggio 3.4

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1

Semplifica l'espressione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.1.1

Somma $8$ e $1$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{8 \cdot 9}{2}$

Passaggio 3.4.1.2

Moltiplica $8$ per $9$ .

$- \frac{2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Passaggio 3.4.2

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.2.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{2}{3}$ nel numeratore.

$\frac{- 2}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Passaggio 3.4.2.2

Scomponi $2$ da $- 2$ .

$\frac{2 (- 1)}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Passaggio 3.4.2.3

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 \cdot - 1}{3} \cdot \frac{72}{2}$

Passaggio 3.4.2.4

Riscrivi l'espressione.

$\frac{- 1}{3} \cdot 72$

Passaggio 3.4.3

Elimina il fattore comune di $3$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.4.3.1

Scomponi $3$ da $72$ .

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 (24))$

Passaggio 3.4.3.2

Elimina il fattore comune.

$\frac{- 1}{3} \cdot (3 \cdot 24)$

Passaggio 3.4.3.3

Riscrivi l'espressione.

$- 1 \cdot 24$

Passaggio 3.4.4

Moltiplica $- 1$ per $24$ .

$- 24$

Passaggio 4

Calcola $\sum_{k = 1}^{8} - 1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

La formula per la sommatoria di una costante è:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Passaggio 4.2

Sostituisci i valori nella formula.

$(- 1) (8)$

Passaggio 4.3

Moltiplica $- 1$ per $8$ .

$- 8$

Passaggio 5

Somma i risultati delle sommatorie.

$- 24 - 8$

Passaggio 6

Sottrai $8$ da $- 24$ .

$- 32$