Calcolo Esempi

$y = x^{5} \sin (x)$

Passaggio 1

Data $y = f (x)$ , trova il logaritmo naturale di entrambi i lati $\ln (y) = \ln (f (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 2

Espandi il lato di destra.

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Passaggio 2.1

Riscrivi $\ln (x^{5} \sin (x))$ come $\ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$ .

$\ln (y) = \ln (x^{5}) + \ln (\sin (x))$

Passaggio 2.2

Espandi $\ln (x^{5})$ spostando $5$ fuori dal logaritmo.

$\ln (y) = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Passaggio 3

Differenzia l'espressione usando la regola della catena, tenendo a mente che $y$ è una funzione di $x$ .

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Passaggio 3.1

Differenzia $\ln (y)$ sul lato sinistro usando la regola della catena.

$\frac{y'}{y} = 5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$

Passaggio 3.2

Differenzia il lato destro.

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Passaggio 3.2.1

Differenzia $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x) + \ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 \ln (x) + \ln (\sin (x))$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{d}{d x} [5 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [5 \ln (x)]$ .

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Passaggio 3.2.3.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 \ln (x)$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.3.2

La derivata di $\ln (x)$ rispetto a $x$ è $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = 5 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.3.3

$5$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$

Passaggio 3.2.4

Calcola $\frac{d}{d x} [\ln (\sin (x))]$ .

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Passaggio 3.2.4.1

Differenzia usando la regola della catena secondo cui $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ è $f' (g (x)) g' (x)$ dove $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = \sin (x)$ .

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Passaggio 3.2.4.1.1

Per applicare la regola della catena, imposta $u$ come $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2.4.1.2

La derivata di $\ln (u)$ rispetto a $u$ è $\frac{1}{u}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2.4.1.3

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $\sin (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Passaggio 3.2.4.2

La derivata di $\sin (x)$ rispetto a $x$ è $\cos (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \frac{1}{\sin (x)} \cos (x)$

Passaggio 3.2.4.3

Converti da $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{5}{x} + \csc (x) \cos (x)$

Passaggio 3.2.5

Semplifica.

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Passaggio 3.2.5.1

Riordina i termini.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \csc (x) + \frac{5}{x}$

Passaggio 3.2.5.2

Semplifica ciascun termine.

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Passaggio 3.2.5.2.1

Riscrivi $\csc (x)$ in termini di seno e coseno.

$\frac{y'}{y} = \cos (x) \frac{1}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Passaggio 3.2.5.2.2

$\cos (x)$ e $\frac{1}{\sin (x)}$ .

$\frac{y'}{y} = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}$

Passaggio 3.2.5.3

Converti da $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ a $\cot (x)$ .

$\frac{y'}{y} = \cot (x) + \frac{5}{x}$

Passaggio 4

Isola $y'$ e sostituisci la funzione originale a $y$ nel lato destro.

$y' = (\cot (x) + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5

Semplifica il lato di destra.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $\cot (x)$ in termini di seno e coseno.

$y' = (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} + \frac{5}{x}) (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5.2

Applica la proprietà distributiva.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (x^{5} \sin (x)) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5.3

Elimina il fattore comune di $\sin (x)$ .

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Passaggio 5.3.1

Scomponi $\sin (x)$ da $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5.3.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \frac{\cos (x)}{\sin (x)} (\sin (x) x^{5}) + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5.3.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x^{5} \sin (x))$

Passaggio 5.4

Elimina il fattore comune di $x$ .

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Passaggio 5.4.1

Scomponi $x$ da $x^{5} \sin (x)$ .

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Passaggio 5.4.2

Elimina il fattore comune.

$y' = \cos (x) x^{5} + \frac{5}{x} (x (x^{4} \sin (x)))$

Passaggio 5.4.3

Riscrivi l'espressione.

$y' = \cos (x) x^{5} + 5 (x^{4} \sin (x))$

Passaggio 5.5

Riordina i fattori in $\cos (x) x^{5} + 5 x^{4} \sin (x)$ .

$y' = x^{5} \cos (x) + 5 x^{4} \sin (x)$