Calcolo Esempi

$\int_{0}^{1} (e^{t} + 5 e^{5 t}) d t$

Passaggio 1

Rimuovi le parentesi.

$\int_{0}^{1} e^{t} + 5 e^{5 t} d t$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{0}^{1} e^{t} d t + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Passaggio 3

L'integrale di $e^{t}$ rispetto a $t$ è $e^{t}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 5 e^{5 t} d t$

Passaggio 4

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , sposta $5$ fuori dall'integrale.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{1} e^{5 t} d t$

Passaggio 5

Sia $u = 5 t$ . Allora $d u = 5 d t$ , quindi $\frac{1}{5} d u = d t$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sia $u = 5 t$ . Trova $\frac{d u}{d t}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1.1

Differenzia $5 t$ .

$\frac{d}{d t} [5 t]$

Passaggio 5.1.2

Poiché $5$ è costante rispetto a $t$ , la derivata di $5 t$ rispetto a $t$ è $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$5 \frac{d}{d t} [t]$

Passaggio 5.1.3

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ è $n t^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$5 \cdot 1$

Passaggio 5.1.4

Moltiplica $5$ per $1$ .

$5$

Passaggio 5.2

Sostituisci il limite inferiore a $t$ in $u = 5 t$ .

$u_{lower} = 5 \cdot 0$

Passaggio 5.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$u_{lower} = 0$

Passaggio 5.4

Sostituisci il limite superiore a $t$ in $u = 5 t$ .

$u_{upper} = 5 \cdot 1$

Passaggio 5.5

Moltiplica $5$ per $1$ .

$u_{upper} = 5$

Passaggio 5.6

I valori trovati per $u_{lower}$ e $u_{upper}$ saranno usati per calcolare l'integrale definito.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = 5$

Passaggio 5.7

Riscrivi il problema usando $u$ , $d u$ e i nuovi limiti dell'integrazione.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} e^{u} \frac{1}{5} d u$

Passaggio 6

$e^{u}$ e $\frac{1}{5}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 \int_{0}^{5} \frac{e^{u}}{5} d u$

Passaggio 7

Poiché $\frac{1}{5}$ è costante rispetto a $u$ , sposta $\frac{1}{5}$ fuori dall'integrale.

$e^{t}]_{0}^{1} + 5 (\frac{1}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u)$

Passaggio 8

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.1

$\frac{1}{5}$ e $5$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Passaggio 8.2

Elimina il fattore comune di $5$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 8.2.1

Elimina il fattore comune.

$e^{t}]_{0}^{1} + \frac{5}{5} \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Passaggio 8.2.2

Riscrivi l'espressione.

$e^{t}]_{0}^{1} + 1 \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Passaggio 8.3

Moltiplica $\int_{0}^{5} e^{u} d u$ per $1$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + \int_{0}^{5} e^{u} d u$

Passaggio 9

L'integrale di $e^{u}$ rispetto a $u$ è $e^{u}$ .

$e^{t}]_{0}^{1} + e^{u}]_{0}^{5}$

Passaggio 10

Sostituisci e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.1

Calcola $e^{t}$ per $1$ e per $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + e^{u}]_{0}^{5}$

Passaggio 10.2

Calcola $e^{u}$ per $5$ e per $0$ .

$(e^{1}) - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Passaggio 10.3

Semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 10.3.1

Semplifica.

$e - e^{0} + (e^{5}) - e^{0}$

Passaggio 10.3.2

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e - 1 \cdot 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Passaggio 10.3.3

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e - 1 + (e^{5}) - e^{0}$

Passaggio 10.3.4

Qualsiasi valore elevato a $0$ è $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1 \cdot 1$

Passaggio 10.3.5

Moltiplica $- 1$ per $1$ .

$e - 1 + e^{5} - 1$

Passaggio 10.3.6

Sottrai $1$ da $- 1$ .

$e + e^{5} - 2$

Passaggio 11

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$e + e^{5} - 2$

Forma decimale:

$149.13144093 \dots$

Passaggio 12