Calcolo Esempi

$\int \frac{10}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 1

Poiché $10$ è costante rispetto a $x$ , sposta $10$ fuori dall'integrale.

$10 \int \frac{1}{{(1 + x)}^{2}} d x$

Passaggio 2

Sia $u = 1 + x$ . Allora $d u = d x$ . Riscrivi usando $u$ e $d$ $u$ .

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Passaggio 2.1

Sia $u = 1 + x$ . Trova $\frac{d u}{d x}$ .

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Passaggio 2.1.1

Differenzia $1 + x$ .

$\frac{d}{d x} [1 + x]$

Passaggio 2.1.2

Secondo la regola della somma, la derivata di $1 + x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.3

Poiché $1$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $1$ rispetto a $x$ è $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x]$

Passaggio 2.1.4

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$0 + 1$

Passaggio 2.1.5

Somma $0$ e $1$ .

$1$

Passaggio 2.2

Riscrivi il problema usando $u$ e $d u$ .

$10 \int \frac{1}{u^{2}} d u$

Passaggio 3

Applica le regole di base degli esponenti.

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Passaggio 3.1

Sposta $u^{2}$ fuori dal denominatore elevandolo alla potenza di $- 1$ .

$10 \int {(u^{2})}^{- 1} d u$

Passaggio 3.2

Moltiplica gli esponenti in ${(u^{2})}^{- 1}$ .

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Passaggio 3.2.1

Applica la regola della potenza e moltiplica gli esponenti, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$10 \int u^{2 \cdot - 1} d u$

Passaggio 3.2.2

Moltiplica $2$ per $- 1$ .

$10 \int u^{- 2} d u$

Passaggio 4

Secondo la regola della potenza, l'intero di $u^{- 2}$ rispetto a $u$ è $- u^{- 1}$ .

$10 (- u^{- 1} + C)$

Passaggio 5

Semplifica.

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Passaggio 5.1

Riscrivi $10 (- u^{- 1} + C)$ come $10 (- \frac{1}{u}) + C$ .

$10 (- \frac{1}{u}) + C$

Passaggio 5.2

Semplifica.

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Passaggio 5.2.1

Moltiplica $- 1$ per $10$ .

$- 10 \frac{1}{u} + C$

Passaggio 5.2.2

$- 10$ e $\frac{1}{u}$ .

$\frac{- 10}{u} + C$

Passaggio 5.2.3

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$- \frac{10}{u} + C$

Passaggio 6

Sostituisci tutte le occorrenze di $u$ con $1 + x$ .

$- \frac{10}{1 + x} + C$