Calcolo Esempi

$y = 4 x^{3} - 3 x^{2}$

Passaggio 1

Trova la derivata prima della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$12 x^{2} - 6 x$

Passaggio 2

Trova la derivata seconda della funzione.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $12 x^{2} - 6 x$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [12 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (12 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [12 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Poiché $12$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $12 x^{2}$ rispetto a $x$ è $12 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.2.3

Moltiplica $2$ per $12$ .

$f'' (x) = 24 x + \frac{d}{d x} (- 6 x)$

Passaggio 2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 6 x]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.3.1

Poiché $- 6$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 6 x$ rispetto a $x$ è $- 6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 24 x - 6 \frac{d}{d x} x$

Passaggio 2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 1$ .

$f'' (x) = 24 x - 6 \cdot 1$

Passaggio 2.3.3

Moltiplica $- 6$ per $1$ .

$f'' (x) = 24 x - 6$

Passaggio 3

Per trovare i valori locali di minimo e di massimo della funzione, imposta la derivata in modo che sia uguale a $0$ e risolvi.

$12 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 4

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $4 x^{3} - 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.2.1

Poiché $4$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $4 x^{3}$ rispetto a $x$ è $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.2.3

Moltiplica $3$ per $4$ .

$12 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$

Passaggio 4.1.3

Calcola $\frac{d}{d x} [- 3 x^{2}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 4.1.3.1

Poiché $- 3$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $- 3 x^{2}$ rispetto a $x$ è $- 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$12 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Passaggio 4.1.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 2$ .

$12 x^{2} - 3 (2 x)$

Passaggio 4.1.3.3

Moltiplica $2$ per $- 3$ .

$f' (x) = 12 x^{2} - 6 x$

Passaggio 4.2

La derivata prima di $f (x)$ rispetto a $x$ è $12 x^{2} - 6 x$ .

$12 x^{2} - 6 x$

Passaggio 5

Poni la derivata prima uguale a $0$ quindi risolvi l'equazione $12 x^{2} - 6 x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Poni la derivata prima uguale a $0$ .

$12 x^{2} - 6 x = 0$

Passaggio 5.2

Scomponi $6 x$ da $12 x^{2} - 6 x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Scomponi $6 x$ da $12 x^{2}$ .

$6 x (2 x) - 6 x = 0$

Passaggio 5.2.2

Scomponi $6 x$ da $- 6 x$ .

$6 x (2 x) + 6 x (- 1) = 0$

Passaggio 5.2.3

Scomponi $6 x$ da $6 x (2 x) + 6 x (- 1)$ .

$6 x (2 x - 1) = 0$

Passaggio 5.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x = 0$

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.4

Imposta $x$ uguale a $0$ .

$x = 0$

Passaggio 5.5

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.1

Imposta $2 x - 1$ uguale a $0$ .

$2 x - 1 = 0$

Passaggio 5.5.2

Risolvi $2 x - 1 = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.1

Somma $1$ a entrambi i lati dell'equazione.

$2 x = 1$

Passaggio 5.5.2.2

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ e semplifica.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.1

Dividi per $2$ ciascun termine in $2 x = 1$ .

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.2.2

Semplifica il lato sinistro.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.5.2.2.2.1.1

Elimina il fattore comune.

$\frac{2 x}{2} = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.5.2.2.2.1.2

Dividi $x$ per $1$ .

$x = \frac{1}{2}$

Passaggio 5.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $6 x (2 x - 1) = 0$ vera.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 6

Trova i valori per cui la derivata è indefinita.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Il dominio dell'espressione sono tutti i numeri reali tranne nei casi in cui l'espressione sia indefinita. In questo caso, non c'è alcun numero reale che rende l'espressione indefinita.

Passaggio 7

Punti critici da calcolare.

$x = 0, \frac{1}{2}$

Passaggio 8

Calcola la derivata seconda per $x = 0$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (0) - 6$

Passaggio 9

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 9.1

Moltiplica $24$ per $0$ .

$0 - 6$

Passaggio 9.2

Sottrai $6$ da $0$ .

$- 6$

Passaggio 10

$x = 0$ è un massimo locale perché il valore della derivata seconda è negativo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = 0$ è un massimo locale

Passaggio 11

Trova il valore di y quando $x = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$f (0) = 4 {(0)}^{3} - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 11.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 4 \cdot 0 - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.2

Moltiplica $4$ per $0$ .

$f (0) = 0 - 3 {(0)}^{2}$

Passaggio 11.2.1.3

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$f (0) = 0 - 3 \cdot 0$

Passaggio 11.2.1.4

Moltiplica $- 3$ per $0$ .

$f (0) = 0 + 0$

Passaggio 11.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$f (0) = 0$

Passaggio 11.2.3

La risposta finale è $0$ .

$y = 0$

Passaggio 12

Calcola la derivata seconda per $x = \frac{1}{2}$ . Se la derivata seconda è positiva, allora si tratta di un minimo locale. Se è negativa, allora è un massimo locale.

$24 (\frac{1}{2}) - 6$

Passaggio 13

Calcola la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1

Elimina il fattore comune di $2$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 13.1.1

Scomponi $2$ da $24$ .

$2 (12) \frac{1}{2} - 6$

Passaggio 13.1.2

Elimina il fattore comune.

$2 \cdot 12 \frac{1}{2} - 6$

Passaggio 13.1.3

Riscrivi l'espressione.

$12 - 6$

Passaggio 13.2

Sottrai $6$ da $12$ .

$6$

Passaggio 14

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale perché il valore della derivata seconda è positivo. Ciò si definisce test della derivata seconda.

$x = \frac{1}{2}$ è un minimo locale

Passaggio 15

Trova il valore di y quando $x = \frac{1}{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.1

Sostituisci la variabile $x$ con $\frac{1}{2}$ nell'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = 4 {(\frac{1}{2})}^{3} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.1

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1^{3}}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.2

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{2^{3}}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.3

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{8}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.1.4.1

Scomponi $4$ da $8$ .

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 (2)}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4.2

Elimina il fattore comune.

$f (\frac{1}{2}) = 4 (\frac{1}{4 \cdot 2}) - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.4.3

Riscrivi l'espressione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 {(\frac{1}{2})}^{2}$

Passaggio 15.2.1.5

Applica la regola del prodotto a $\frac{1}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 \frac{1^{2}}{2^{2}}$

Passaggio 15.2.1.6

Uno elevato a qualsiasi potenza è uno.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 \frac{1}{2^{2}}$

Passaggio 15.2.1.7

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - 3 (\frac{1}{4})$

Passaggio 15.2.1.8

$- 3$ e $\frac{1}{4}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} + \frac{- 3}{4}$

Passaggio 15.2.1.9

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} - \frac{3}{4}$

Passaggio 15.2.2

Per scrivere $\frac{1}{2}$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{4}$

Passaggio 15.2.3

Scrivi ogni espressione con un comune denominatore di $4$ , moltiplicando ciascuna per il fattore appropriato di $1$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 15.2.3.1

Moltiplica $\frac{1}{2}$ per $\frac{2}{2}$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{2 \cdot 2} - \frac{3}{4}$

Passaggio 15.2.3.2

Moltiplica $2$ per $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2}{4} - \frac{3}{4}$

Passaggio 15.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$f (\frac{1}{2}) = \frac{2 - 3}{4}$

Passaggio 15.2.5

Sottrai $3$ da $2$ .

$f (\frac{1}{2}) = \frac{- 1}{4}$

Passaggio 15.2.6

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$f (\frac{1}{2}) = - \frac{1}{4}$

Passaggio 15.2.7

La risposta finale è $- \frac{1}{4}$ .

$y = - \frac{1}{4}$

Passaggio 16

Questi sono gli estremi locali per $f (x) = 4 x^{3} - 3 x^{2}$ .

$(0, 0)$ è un massimo locale

$(\frac{1}{2}, - \frac{1}{4})$ è un minimo locale

Passaggio 17