Calcolo Esempi

$h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$

Passaggio 1

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1

Trova la derivata prima.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1

Differenzia.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.1.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $x^{5} + 5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.1.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 5$ .

$5 x^{4} + \frac{d}{d x} [5 x^{4}]$

Passaggio 1.1.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.1.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 x^{4} + 5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Passaggio 1.1.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 x^{4} + 5 (4 x^{3})$

Passaggio 1.1.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$f' (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

Passaggio 1.2

Trova la derivata seconda.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.1

Secondo la regola della somma, la derivata di $5 x^{4} + 20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2

Calcola $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.2.1

Poiché $5$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $5 x^{4}$ rispetto a $x$ è $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.2.3

Moltiplica $4$ per $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

Passaggio 1.2.3

Calcola $\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 1.2.3.1

Poiché $20$ è costante rispetto a $x$ , la derivata di $20 x^{3}$ rispetto a $x$ è $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Passaggio 1.2.3.2

Differenzia usando la regola della potenza secondo cui $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ è $n x^{n - 1}$ dove $n = 3$ .

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

Passaggio 1.2.3.3

Moltiplica $3$ per $20$ .

$f'' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 1.3

La derivata seconda di $h (x)$ rispetto a $x$ è $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2}$

Passaggio 2

Imposta la derivata seconda pari a $0$ , quindi risolvi l'equazione $20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.1

Imposta la derivata seconda uguale a $0$ .

$20 x^{3} + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2

Scomponi $20 x^{2}$ da $20 x^{3} + 60 x^{2}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.2.1

Scomponi $20 x^{2}$ da $20 x^{3}$ .

$20 x^{2} (x) + 60 x^{2} = 0$

Passaggio 2.2.2

Scomponi $20 x^{2}$ da $60 x^{2}$ .

$20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3) = 0$

Passaggio 2.2.3

Scomponi $20 x^{2}$ da $20 x^{2} (x) + 20 x^{2} (3)$ .

$20 x^{2} (x + 3) = 0$

Passaggio 2.3

Se qualsiasi singolo fattore nel lato sinistro dell'equazione è uguale a $0$ , l'intera espressione sarà uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.4

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.1

Imposta $x^{2}$ uguale a $0$ .

$x^{2} = 0$

Passaggio 2.4.2

Risolvi $x^{2} = 0$ per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.1

Trova la radice quadrata specificata di entrambi i lati dell'equazione per eliminare l'esponente sul lato sinistro.

$x = \pm \sqrt{0}$

Passaggio 2.4.2.2

Semplifica $\pm \sqrt{0}$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.4.2.2.1

Riscrivi $0$ come $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Passaggio 2.4.2.2.2

Estrai i termini dal radicale, presupponendo numeri reali positivi.

$x = \pm 0$

Passaggio 2.4.2.2.3

Più o meno $0$ è $0$ .

$x = 0$

Passaggio 2.5

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ e risolvi per $x$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 2.5.1

Imposta $x + 3$ uguale a $0$ .

$x + 3 = 0$

Passaggio 2.5.2

Sottrai $3$ da entrambi i lati dell'equazione.

$x = - 3$

Passaggio 2.6

La soluzione finale è data da tutti i valori che rendono $20 x^{2} (x + 3) = 0$ vera.

$x = 0, - 3$

Passaggio 3

Trova i punti dove la derivata seconda è $0$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1

Sostituisci $0$ in $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0$ nell'espressione.

$h (0) = {(0)}^{5} + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.1.2.1.1

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 0 + 5 {(0)}^{4}$

Passaggio 3.1.2.1.2

Elevando $0$ a qualsiasi potenza positiva si ottiene $0$ .

$h (0) = 0 + 5 \cdot 0$

Passaggio 3.1.2.1.3

Moltiplica $5$ per $0$ .

$h (0) = 0 + 0$

Passaggio 3.1.2.2

Somma $0$ e $0$ .

$h (0) = 0$

Passaggio 3.1.2.3

La risposta finale è $0$ .

$0$

Passaggio 3.2

Il punto trovato sostituendo $0$ in $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ è $(0, 0)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(0, 0)$

Passaggio 3.3

Sostituisci $- 3$ in $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ per trovare il valore di $y$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3$ nell'espressione.

$h (- 3) = {(- 3)}^{5} + 5 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 3.3.2.1.1

Eleva $- 3$ alla potenza di $5$ .

$h (- 3) = - 243 + 5 {(- 3)}^{4}$

Passaggio 3.3.2.1.2

Eleva $- 3$ alla potenza di $4$ .

$h (- 3) = - 243 + 5 \cdot 81$

Passaggio 3.3.2.1.3

Moltiplica $5$ per $81$ .

$h (- 3) = - 243 + 405$

Passaggio 3.3.2.2

Somma $- 243$ e $405$ .

$h (- 3) = 162$

Passaggio 3.3.2.3

La risposta finale è $162$ .

$162$

Passaggio 3.4

Il punto trovato sostituendo $- 3$ in $h (x) = x^{5} + 5 x^{4}$ è $(- 3, 162)$ . Questo punto può essere un punto di flesso.

$(- 3, 162)$

Passaggio 3.5

Determina i punti che potrebbero essere punti di flesso.

$(0, 0), (- 3, 162)$

Passaggio 4

Dividi $(- \infty, \infty)$ in intervalli intorno ai punti che potrebbero potenzialmente essere punti di flesso.

$(- \infty, - 3) \cup (- 3, 0) \cup (0, \infty)$

Passaggio 5

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- \infty, - 3)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- 3.1$ nell'espressione.

$h'' (- 3.1) = 20 {(- 3.1)}^{3} + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 5.2.1.1

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $3$ .

$h'' (- 3.1) = 20 \cdot - 29.791 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.2

Moltiplica $20$ per $- 29.791$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 {(- 3.1)}^{2}$

Passaggio 5.2.1.3

Eleva $- 3.1$ alla potenza di $2$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 60 \cdot 9.61$

Passaggio 5.2.1.4

Moltiplica $60$ per $9.61$ .

$h'' (- 3.1) = - 595.82 + 576.6$

Passaggio 5.2.2

Somma $- 595.82$ e $576.6$ .

$h'' (- 3.1) = - 19.22$

Passaggio 5.2.3

La risposta finale è $- 19.22$ .

$- 19.22$

Passaggio 5.3

Per $- 3.1$ , la derivata seconda è $- 19.22$ . Poiché il valore è negativo, la derivata seconda è decrescente nell'intervallo $(- \infty, - 3)$ .

Decrescente su $(- \infty, - 3)$ perché $h'' (x) < 0$

Passaggio 6

Sostituisci un valore dell'intervallo $(- 3, 0)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.1

Sostituisci la variabile $x$ con $- \frac{3}{2}$ nell'espressione.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 {(- \frac{3}{2})}^{3} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.1.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} {(\frac{3}{2})}^{3}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.1.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 ({(- 1)}^{3} (\frac{3^{3}}{2^{3}})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.2

Eleva $- 1$ alla potenza di $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{3^{3}}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.3

Eleva $3$ alla potenza di $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{2^{3}}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.4

Eleva $2$ alla potenza di $3$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (- \frac{27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.5.1

Sposta il negativo all'inizio di $- \frac{27}{8}$ nel numeratore.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 20 (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.2

Scomponi $4$ da $20$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 (5) (\frac{- 27}{8}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.3

Scomponi $4$ da $8$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.4

Elimina il fattore comune.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 4 \cdot (5 (\frac{- 27}{4 \cdot 2})) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.5.5

Riscrivi l'espressione.

$h'' (- \frac{3}{2}) = 5 (\frac{- 27}{2}) + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.6

$5$ e $\frac{- 27}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{5 \cdot - 27}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.7

Moltiplica $5$ per $- 27$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.8

Sposta il negativo davanti alla frazione.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 {(- \frac{3}{2})}^{2}$

Passaggio 6.2.1.9

Usa la regola della potenza ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ per distribuire l'esponente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.9.1

Applica la regola del prodotto a $- \frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2})$

Passaggio 6.2.1.9.2

Applica la regola del prodotto a $\frac{3}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.10

Eleva $- 1$ alla potenza di $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}}))$

Passaggio 6.2.1.11

Moltiplica $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ per $1$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{3^{2}}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.12

Eleva $3$ alla potenza di $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{2^{2}})$

Passaggio 6.2.1.13

Eleva $2$ alla potenza di $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 60 (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.14

Elimina il fattore comune di $4$ .

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.1.14.1

Scomponi $4$ da $60$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 (15) (\frac{9}{4})$

Passaggio 6.2.1.14.2

Elimina il fattore comune.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 4 \cdot (15 (\frac{9}{4}))$

Passaggio 6.2.1.14.3

Riscrivi l'espressione.

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 15 \cdot 9$

Passaggio 6.2.1.15

Moltiplica $15$ per $9$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135$

Passaggio 6.2.2

Per scrivere $135$ come una frazione con un comune denominatore, moltiplicala per $\frac{2}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + 135 \cdot \frac{2}{2}$

Passaggio 6.2.3

$135$ e $\frac{2}{2}$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = - \frac{135}{2} + \frac{135 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.4

Riduci i numeratori su un comune denominatore.

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 135 \cdot 2}{2}$

Passaggio 6.2.5

Semplifica il numeratore.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 6.2.5.1

Moltiplica $135$ per $2$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{- 135 + 270}{2}$

Passaggio 6.2.5.2

Somma $- 135$ e $270$ .

$h'' (- \frac{3}{2}) = \frac{135}{2}$

Passaggio 6.2.6

La risposta finale è $\frac{135}{2}$ .

$\frac{135}{2}$

Passaggio 6.3

In corrispondenza di $- \frac{3}{2}$ , la derivata seconda è $67.5$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(- 3, 0)$ .

Crescente su $(- 3, 0)$ perché $h'' (x) > 0$

Passaggio 7

Sostituisci un valore dell'intervallo $(0, \infty)$ nella derivata seconda per determinare se è crescente o decrescente.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.1

Sostituisci la variabile $x$ con $0.1$ nell'espressione.

$h'' (0.1) = 20 {(0.1)}^{3} + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2

Semplifica il risultato.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1

Semplifica ciascun termine.

Tocca per altri passaggi...

Passaggio 7.2.1.1

Eleva $0.1$ alla potenza di $3$ .

$h'' (0.1) = 20 \cdot 0.001 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.2

Moltiplica $20$ per $0.001$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 {(0.1)}^{2}$

Passaggio 7.2.1.3

Eleva $0.1$ alla potenza di $2$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 60 \cdot 0.01$

Passaggio 7.2.1.4

Moltiplica $60$ per $0.01$ .

$h'' (0.1) = 0.02 + 0.6$

Passaggio 7.2.2

Somma $0.02$ e $0.6$ .

$h'' (0.1) = 0.62$

Passaggio 7.2.3

La risposta finale è $0.62$ .

$0.62$

Passaggio 7.3

In corrispondenza di $0.1$ , la derivata seconda è $0.62$ . Poiché il valore è positivo, la derivata seconda è crescente sull'intervallo $(0, \infty)$ .

Crescente su $(0, \infty)$ perché $h'' (x) > 0$

Passaggio 8

Un punto di flesso è un punto su una curva in cui la concavità cambia di segno, da più a meno oppure da meno a più. In questo caso il punto di flesso è $(- 3, 162)$ .

$(- 3, 162)$

Passaggio 9