Calcolo Esempi

$\int_{1}^{3} \frac{2 + y e^{y}}{y} d y$

Passaggio 1

Suddividi la frazione in frazioni multiple.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} + \frac{y e^{y}}{y} d y$

Passaggio 2

Dividi il singolo integrale in più integrali.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Passaggio 3

Elimina il fattore comune di $y$ .

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Passaggio 3.1

Elimina il fattore comune.

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} \frac{y e^{y}}{y} d y$

Passaggio 3.2

Dividi $e^{y}$ per $1$ .

$\int_{1}^{3} \frac{2}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Passaggio 4

Poiché $2$ è costante rispetto a $y$ , sposta $2$ fuori dall'integrale.

$2 \int_{1}^{3} \frac{1}{y} d y + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Passaggio 5

L'integrale di $\frac{1}{y}$ rispetto a $y$ è $\ln (| y |)$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + \int_{1}^{3} e^{y} d y$

Passaggio 6

L'integrale di $e^{y}$ rispetto a $y$ è $e^{y}$ .

$2 (\ln (| y |)]_{1}^{3}) + e^{y}]_{1}^{3}$

Passaggio 7

Semplifica la risposta.

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Passaggio 7.1

Sostituisci e semplifica.

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Passaggio 7.1.1

Calcola $\ln (| y |)$ per $3$ e per $1$ .

$2 ((\ln (| 3 |)) - \ln (| 1 |)) + e^{y}]_{1}^{3}$

Passaggio 7.1.2

Calcola $e^{y}$ per $3$ e per $1$ .

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e^{1}$

Passaggio 7.1.3

Semplifica.

$2 (\ln (| 3 |) - \ln (| 1 |)) + e^{3} - e$

Passaggio 7.2

Usa la proprietà del quoziente dei logaritmi, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$2 \ln (\frac{| 3 |}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Passaggio 7.3

Semplifica.

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Passaggio 7.3.1

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $3$ è $3$ .

$2 \ln (\frac{3}{| 1 |}) + e^{3} - e$

Passaggio 7.3.2

Il valore assoluto è la distanza tra un numero e zero. La distanza tra $0$ e $1$ è $1$ .

$2 \ln (\frac{3}{1}) + e^{3} - e$

Passaggio 7.3.3

Dividi $3$ per $1$ .

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Passaggio 8

Il risultato può essere mostrato in più forme.

Forma esatta:

$2 \ln (3) + e^{3} - e$

Forma decimale:

$19.56447967 \dots$

Passaggio 9